海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学 （文科） 2014.4

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.

A.
B.
C.
D.

2. 已知集合

A.
B.
C.
D.

3. 抛物线
上到其焦点
距离为5的点有

A.0个 B.1个 C. 2个 D. 4个

4. 平面向量
满足
，
，且
的夹角为
，则
=

A.1 B. 3 C.5 D. 7

5. 函数
的部分图象可能是

A B C D

6. 已知等比数列
的前
项和为
，且
，
，
成等差数列，则数列
的公比为

A．1 B．2 C．
D．3

7. 已知
和
是指数函数，则“
”是“
”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 已知
，点
在曲线

上，若线段
与曲线

相交且交点恰为线段
的中点，则称
为曲线
关于曲线
的一个关联点.那么曲线
关于曲线
的关联点的个数为

A．0 B．1 C．2 D．4

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.双曲线
的离心率为2，则
__________.

10. 李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是_______

方案一： 方案二： 方案三：

11. 在
中，
，
，
，则

12. 某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：

①
，
；②
；③
.

能较准确反映商场月销售额
与月份x关系的函数模型为 _________（填写相应函数的序号），若所选函数满足
，则
=_____________.

13．一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为

__________.

14. 设不等式组
表示的区域为
，不等式
表示的平面区域为
.

(1) 若
与
有且只有一个公共点，则
＝ ;

(2) 记
为
与
公共部分的面积，则函数
的取值范围是 .

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15.（本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求
;

（Ⅱ）求
在
上的取值范围.

16．（本小题满分13分）

某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查.调查问卷共10道题，答题情况如下表：

答对题目数



8

9





女

2

13

12

8



男

3

37

16

9



 (Ⅰ)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；

(Ⅱ)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人做进一步的调查，求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率.

17. （本小题满分14分）

如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，
于
（不同于点
），延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥
，如图2所示.

（Ⅰ）若M是FC的中点，求证：直线
//平面
；

（Ⅱ）求证：BD⊥
；

（Ⅲ）若平面
平面
，试判断直线
与直线CD能否垂直？并说明理由.

18. （本小题满分13分）

已知函数
.

(Ⅰ)求
的单调区间；

(Ⅱ) 当
时，求证：
恒成立.

19. （本小题满分14分）

已知
是椭圆
上两点，点
的坐标为
.

（Ⅰ）当
关于点
对称时，求证：
；

（Ⅱ）当直线
经过点
时，求证：
不可能为等边三角形.

20. （本小题满分13分）

在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）
：
与
：
，其中
，若同时满足：

①两点列的起点和终点分别相同；②线段
，其中
，

则称
与
互为正交点列.

（Ⅰ）试判断
：
与
：
是否互为正交点列，并说明理由；

（Ⅱ）求证：
：
不存在正交点列
；

（Ⅲ）是否存在无正交点列
的有序整数点列
？并证明你的结论.

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案

数 学 （文科） 2014.4

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.

1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.D 7. C 8.B

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9. 1 10. 方案三 11.
,
12. ③,
13. 152

14.
,

{说明：两空的第一空3分，第二空2分；14题的第二空若写成
不扣分}

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15.解：

（Ⅰ）
---------------------------------1分

---------------------------------2分

---------------------------------3分

---------------------------------4分

（Ⅱ）
---------------------------------6分

--------------------------------8分

因为

所以
--------------------------------10分

所以
--------------------------------12分

所以
的取值范围是
--------------------------------13分

16.解：

(Ⅰ)答对题目数小于9道的人数为55人，记“答对题目数大于等于9道”为事件A

--------------------------------5分

(Ⅱ)设答对题目数少于8道的司机为 A、B、C、D、E，其中A、B为女司机 ，选出两人包含AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10种情况，至少有1名女驾驶员的事件为AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE共7种.

记“随机选出的两人中至少有1名女驾驶员”为事件M，则

--------------------------------13分

17.解：

（Ⅰ）因为
,
分别为
中点，所以
//
---------------------2分

又
，

所以
. -----------------------4分

（Ⅱ）因为
，
且

所以
-------------7分

又

所以
------------------------9分

（Ⅲ）直线
与直线
不能垂直 ---------------------------------------10分

因为
,
,
,

，

所以
. ---------------------------------------12分

因为
，所以
，

又因为
，所以
.

假设
，

因为
，
，

所以
， ------------------------------------------13分

所以
，

这与
为锐角矛盾

所以直线
与直线
不能垂直. ---------------------------------------14分

18.解：

(Ⅰ) 定义域为
------------------------------------1分

------------------------------------2分

令
，得
------------------------------------3分

与
的情况如下：













0







↘

极小值

↗



 --------------------------------5分

所以
的单调减区间为
，单调增区间为
--------------------------6分

(Ⅱ) 证明1：

设
，
------------------------------------7分

-------------------------------8分

与
的情况如下：



1









0







↘

极小值

↗



 所以
，即

在
时恒成立， ----------------------10分

所以，当
时，
，

所以
，即
，

所以，当
时，有
. ------------------------13分

证明2：

令
----------------------------------7分

-----------------------------------8分

令
，得
-----------------------------------9分

与
的情况如下：













0







↘

极小值

↗