一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）

1.已知全集
，集合
，集合
，则下列结论中成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知
为虚数单位，则
在复平面内对应的点位于 ( )

第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知命题
，命题
，则 ( 　)

A.命题
是假命题 B.命题

是真命题

C.命题
是真命题 D.命题

是假命题

4.已知
，则
的值是 （ ）

A．
B．
C.
D．

5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ）

　Ａ．
　　　　　 Ｂ．

　Ｃ．
　　　　　 Ｄ．

6. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为 （ ）

A.
B.


C.
D.

7．函数
的图象恒过
定点A，若点A

在直线
上，其中m，n均大于0，则
的最小

值为 （ ）

A．2 B．4 C．8 D．16[来源:Zxxk.Com]

8. 已知等比数列{
}的公比
,且
,
,48成等差数
列,则{
}的前8项和为( )

A．127 B．255 C．511 D．1023

9．已知

为
的导函数，则
的图像是（ ）

10.设函数
，将y＝f(x)的图象向右平移
个单位长度后，所

得的图象与原图象重合，则
的最小值等于 (　　)

A.  B．3 C．6 D．9

11. 点P在双曲线
上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2

＝90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是 (　　)

A．2 B． 3 C．4 D．5

12.定义方程
的实数根
叫做函数的“新驻点”，若函数
，

的“新驻点”分别为
，
，
，则
，
，
的大小

关系为 （
）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷(共90分)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在横线上）.

13．若圆
的半径为1，圆心在第一象限，且与直线
和
轴相切，则该圆的标准方程是________
_______.

14.若向量
，
满足
，
，且
，则
与
的夹角为

15.若函数
的图像上存在点
，满足约束条件
，则实数
的最大值为

16.在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积．若向量
＝(4，a2＋b2－c2)，
＝(，S)，满足
∥
，则角C＝ .

三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共70分)

17.(本题满分12分) 等差数列
是递增数列，前n项和为
，且a1，a3，a9成等比数列，
．

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ)若数列
满足
，求数列
的前n项的和．

18.(本小题满分12分)

为了了解甘肃各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了
人，回答问题“甘肃省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表
．

组号

分组

回答正确的人数

回答正确的人数

占本组的频率



第1组

[15，25)

a

0.5



第2组

[25，35)

18[来源:学科网]

x



第3组

[35，45)

b

0.9



第4组

[45，55)

9

0.36



第5组

[55，65]

3

y[来源:Z#xx#k.Com]



 (Ⅰ)分别求出a，b，x，y的值；

(Ⅱ)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？

(Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的6人中随机
抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.

19.（本小题满分12分） 如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）

中，
是
的中点，
 （Ⅰ）求证：
； （Ⅱ）求证：
∥平面
； （Ⅲ）求三棱锥
的体积.

20.（本小题12分）

已知椭圆C的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线
的焦点重合．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知经过定点M（2,0）且斜率不为0的直线
交椭圆C于A、B两点，试问在x轴上是否另存在一个定点P使得
始终平分
？若存在，求出
点坐标；若不存在，请说明理由．

21. (本小题满分12分)

已知函数
在
处取得极值.

(Ⅰ)求
的值;

(Ⅱ)求函数
在
上的最小值;

(Ⅲ)求证:对任意
,都有
.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB经过⊙
O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E，
D，连接EC，CD.

(Ⅰ)求证：直线AB是⊙O的切线；

(Ⅱ)若tan∠CED＝，⊙O的半径为3，求OA的长．

23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，已知曲线C的参数方程为
．以直角坐标系原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为

(Ⅰ)求直线
的直角坐标方程；

(Ⅱ)点P为曲线C上的动点，求点P到直线
距离的最
大值．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.[来源:学§科§网Z§X§X§K]

(Ⅰ)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；

(Ⅱ)设a＞－1，且当x∈
时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．

凉州区2014届高三年级第一次诊断考试

数 学 试 卷（文）答案

一 、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

D

C

A

A

B[来源:学|科|网]

C

B

A

C

D

B



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

[来源:学#科#网Z#X#X#K]

∵
，
∴
　 　①

　 ∵
∴
　 　 ②

　　 由①②得：
，
…………………5分

∴
…………………6分

(Ⅱ)
…………………8分

∴

…………………12分

[来源:学,科,网Z,X,X,K]

（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，[来源:学科网]

所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：

第2组：
人；

第3组：
人；

第4组：
人 …………………8分

19.（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：∵ABC—A1B1C1是正
三棱柱，  ∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AD 在正△ABC中，∵D是BC的中点，∴AD⊥BD，

∴AD⊥平面BB1 CC1,

∵B1D
平面 BB1 CC1,
∴AD⊥B1D …………………4分

（Ⅱ）解：连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE. ∵AA1=AB ∴四边形A1ABB1是正方形， ∴E是A1B的中点， 又D是BC的中点， ∴DE∥A1C. ………………………… 7分 ∵DE
平面AB1D，A1C
平面AB1D， ∴A1C∥平面AB1D. ……………………9分

……12分20.(本题满分12分)

解：（Ⅰ）∵短轴短轴长为4，∴2b=4,解得b=2.

又抛物线
的
焦点为（
，0）

∴c=4,则
=
=9,

∴椭圆方程为：
. …………………… 5分

（Ⅱ）设
:
,代入椭圆方程整理：
，

则
， …………………… 7分

假设存在定点
使得
始终平分
,

则


…… 8分

①，………… 10分

要使得①对于
恒成立，则
，[来源:学科网]

故存在定点
使得
始终平分
，它的坐标为
．………… 12分

21. (本小题满分12分)

解：(Ⅰ)

由已知
得
即
解得:

当
时,在
处函数
取得极小值,所以
……4分

(Ⅱ)
,

. ………… 5分











-

0

+






减



增



所以函数
在
递减,在
递增 ………… 6分

当
时,
在
单调递增,

，

当
时,

在
单调递减
,在
单调递增,
.

当
时,
,

在
单调递减,

综上
在
上的最小值
………… 8分

(Ⅲ)由(Ⅰ)知
,

.

令
得

因为

所以
，

所以,对任意
,都有

………… 12分

22．(本题满分10分)

(Ⅰ)证明：连接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，

∴OC⊥AB，又∵OC是圆
的半径，∴AB是圆的切线．

(Ⅱ)∵ED是直径，∴∠ECD＝90°.

∴∠EDC＋∠E＝90°，又∠BCD＋∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC，∴∠BCD＝∠E，又∠CBD＝∠EBC，

∴△BCD∽△BEC，∴＝＝?BC2＝BD·BE，

又tan∠CED＝＝，∴＝＝.

设BD＝x，则BC＝2x，∵BC2＝BD·BE，

∴(2x)2＝x(x＋6)，∴BD＝2，[来源:学科网]

∴OA＝OB＝BD＋OD＝2＋3＝5.

23．(本题满分10分)

解：(Ⅰ)ρcos＝2 化简为ρcos θ＋ρsin θ＝4，…………3分

∴直线l的直角坐标方程为x＋y＝4. …………5分

(Ⅱ)设点P的坐标为(2cos α，sin α)，

得P到直线l的距离d＝， ………
…7分

即d＝，其中cos φ＝，sin φ＝ .…………8分

当sin(α＋φ)＝－1时，dmax＝2 ＋. …………10分

24．(本题满分10分)

解：(Ⅰ)当a＝－2时，不等式
f(x)

设函数y＝|2x－1|＋
|2x－2|－x－3，

则y＝