衡阳市2014届高三第二次联考试题

理科数学答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

6．【答案】B

【解析】由题意得，
，所以

的面积等于24。

7．【答案】B

【解析】
,

∵
∴

8．【答案】C

【解析】不等式
表示的平面区域的面积为4

所以a=2

如图

由图可知，当x=2,y=-2时，
取得最小值
。

9．【答案】C

【解析】5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则有，1,1,3或1,2,2两种分法。若为1,1,3时，有
.若为1,2，2时，有
.所以共有150种。

10．【答案】B

【解析】[f(a1)-2]+[f(a2)-2] + …+ [f(a7)-2] =0

考查函数

，

∴

∵数列{an}是公差不为0的等差数列

∴不妨设
则

假设
，

所以
。

假设
，同理可得：

综上：
。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）

11．【答案】

【解析】直线的直角坐标方程为
，曲线C的方程为
，为圆；的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为

12．【答案】4

【解析】

。

13．【答案】

【解析】连接
，设
，则
，三角形
中，
，所以
，所以
，而
，故

（二）必做题（12-16题）

14．【答案】

15．【答案】
，

【解析】⑴

，∴

当
时，
。

∴

记
，

，

∴当
时

在
上成立。

所以

⑵

如图所示
分别为曲边梯形ABED、梯形ABED、矩形ABCD的面积。

所以

16．【答案】⑴
，⑵

【解析】：⑴∵数列
是调和数列，∴数列
是等差数列

∴

⑵因为
，且数列
中各项都是正数，所以
．

设
， ①

因为数列
是调和数列，故
，
．所以，
． ②

由①得
，代入②式得，

所以
，即
.

故
，所以数列
是等比数列．

设
的公比为，则
，即
．由于
，故
．

于是
．

三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．【解析】：（Ⅰ）
, ………………………….3分

（Ⅱ）由题意，该市6月份空气质量为优或良的概率为P=
，………..4分

.………..8分

的分布列为:

X

0

1

2

3

4



P













 ………………………….10分

X~B(4，
),
. ………………………….12分

18．【解析】（1）角的终边经过点
，
，???…………………………. 2分
，
. ??????????………………………….3分由
时,
的最小值为
，得
，即
，
??????? ………………………….5分∴
?????????? ………………………….6分(2) 方法1：当
时,
,?????? ………………………….8分

①当m>0时，

由
, 得
的最大值为
，∴
。

②当m<0时，

由
, 得
的最小值为-1，∴
。………………………….11分

所以，实数的取值范围是
。?????………………………….12分方法2：当
时,
,?????? ………………………….8分

令
，则

∴
………………………….11分

所以，实数的取值范围是
。?????………………………….12分注：用别的方法求得
，只要正确就给6分。

19．【解析】：（1)∵侧面
底面
，作
于点
，∴
平面
．

又
，且各棱长都相等，∴
，
，
． ………………………………………2分

故以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，则

，
，
，
，

∴
，
，

．……4分

设平面
的法向量为
，

则

解得
．由
．

而侧棱
与平面
所成角，即是向量
与平面
的法向量所成锐角的余角，

∴侧棱
与平面
所成角的正弦值的大小为
…………………6分

（2）∵
，而
∴

又∵
，∴点的坐标为
．

假设存在点符合题意，则点的坐标可设为
，∴
．

∵
，
为平面
的法向量，

∴由
，得
． ……………10分

又
平面
，故存在点，使
，其坐标为
，即恰好为
点． ………………………12分

20．【解析】⑴由题意知
或
……2分

解得
或
，即

能够维持有效的抑制作用的时间：
小时. ……3分

⑵由⑴知，
时第二次投入1单位固体碱，显然
的定义域为
……4分

当
时，第一次投放1单位固体碱还有残留,故
=
+
=
; ……5分

当
时，第一次投放1单位固体碱已无残留,故

当
时，
=
; ……6分

当
时，
; ……7分

所以
……8分

当
时，
=
=
;

当且仅当
时取“=”,即
（函数值与自变量值各1分）……10分

当
时，第一次投放1单位固体碱已无残留，

当
时，
，所以
为增函数;

当
时，
为减函数;故
=
， ……11分

又
,所以当
时，水中碱浓度的最大值为
. ……12分

答：第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时；第一次投放
小时后, 水中碱浓度的达到最大值为
. ……13分

21【解析】 ⑴由
知

设
，因M在抛物线
上，故
……①

又
，则
……②

由①②得
。

而点M在椭圆上，∴

∴
,∴
.故椭圆
的方程为
。 ………………………5分

⑵因为直线l：y=k(x+t)与圆
相切，

所以
。 ………………………6分

把y=k(x+t)代入
并整理得：

。 ………………………7分

设
，
则有

，
。

因为
，

所以
。 ………………………10分

又因为点P在椭圆上，

所以
，
。

因为
所以
，所以
， ………………………12分

所以
的取值范围为
。 ………………………13分

22．【解析】（Ⅰ）由
，有
， ……1分

当
，即
时，
单调递增；

当
，即
时，
单调递减；

所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
． ……3分

（Ⅱ）设
（
），则
， ……4分

由（Ⅰ）知
在
单调递减，且
，

∴
在
恒成立，故
在
单调递减，

又
，∴
，得

，

∴
，即：
． ………………7分

（Ⅲ）由
，及柯西不等式：

，

所以
，

所以