数 学 试 题

A．
B．
C．
D．

4．设数列
是等比数列，则“
”是“数列
为递增数列”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．将函数
的图像分别向左、右平移个单位，所得的图像关于y轴对称，则的最小值分别是（ ）

A.
B.
C.
D.

6．已知
且
，函数
在同一坐标系中的图像可能是

7．已知一元二次不等式
的解集为
,则
的解集为（ ）

A、
B、

C、
} D、

8．若双曲线
的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（　　）

A、
B、5 C、
D、2

9. 已知函数
的图像在点A(1，f(1))处的切线l与直线
平行，若数列
的前项和为
，则
的值为（　 ）

A、
B、
C、
D、

10. 如图，已知圆
，四边形ABCD为圆
的内接正方形，E,F分别为边AB,AD的中点，当正方形ABCD绕圆心
转动时，
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题

11. 已知
，且
，则
．

12. 某四棱锥的三视图如下图所示，该四棱锥的侧面积为 ．

13. 已知抛物线
的焦点为，准线为直线
，过抛物线上一点作
于，若直线
的倾斜角为
，则
______．

14. 在等差数列
中，若
，则该数列的前15项的和为____________.

15. 已知实数
满足
则
的最大值为_________.

三、解答题

16. 已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）求函数
在
上的最小值，并写出
取最小值时相应的值．

17.对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取了M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据数据作出了频数的统计如下：

分组

频数

频率



[10,15)

9

0.45



[15,20)

5

n



[20,25)

m

r



[25,30)

2

0.1



合计

M

1



（Ⅰ）求出表中M,r,m,n的值；

（Ⅱ）在所取样本中，从参加社区服务次数不少于20次的学生中任选2人，求至少有1人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.

18. 如图，已知
平面
，四边形
是矩形，
，
，点，分别是
，
的中点．

（Ⅰ）求三棱锥
的体积；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）若点
为线段
中点，求证：
∥平面
．

19.设
函数.

(Ⅰ)求函数
单调递增区间；

(Ⅱ)当
时，求函数
的最大值和最小值.

20.已知数列
的前项和为
，且满足
；

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ)若
，且
的前n项和为
，求使得
对
都成立的所有正整数k的值.

21.设数列{an}满足an?1=2an?n2?4n?1．

（1）若a1?3，求证：存在
（a，b，c为常数），使数列{an?f(n)}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；

（2）若an是一个等差数列{bn}的前n项和，求首项a1的值与数列{bn}的通项公式．

答 案

所以函数
的最小正周期 6分

（Ⅱ）因为
，

， 8分

， 10分

， 11分

所以当
，即
时，函数
取得最小值
． 12分

（2）设参加社区服务的次数在
内的学生为
，参加社区服务的次数在
内的学生为
； 5分

任选名学生的结果为：

共
种情况 ； 8分

试题解析：（Ⅰ）解：因为
平面
，

所以
为三棱锥
的高． 2分

，

所以
． 4分

（Ⅱ）证明：因为
平面
，
平面
，所以
，

因为
，
所以
平面

因为
平面
， 所以
． 6分

因为
，点是
的中点，所以
，又因为
，

所以
平面
． 8分

（Ⅲ）证明：连结
交
于
，连结
，
．

因为四边形
是矩形，所以
，且
，

又
，分别为
，
的中点， 所以四边形
是平行四边形，

所以
为
的中点，又因为是
的中点，

所以
∥
， 10分

因为
平面
，
平面
，

所以
∥平面
. 12分

19.【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
，0

所以
,
12分

20.【答案】（Ⅰ）n＝2n；（Ⅱ）5、6、7

(Ⅰ) n＝
Sn＋1 ①

n-1＝
Sn-1＋1（n≥2） ②

①-②得： n＝2n-1（n≥2），又易得1＝2 ∴n＝2n 4分

(Ⅱ) bn＝n,

裂项相消可得

8分

∵
10分

∴欲
对n∈N*都成立，须
，

又k正整数，∴k=5、6、7 13分

21.【答案】（1）
，（2）

解（1）

设
2分

也即
4分

6分

所以存在
使数列
是公比为2的等比数列 8分

则
10分

（2）
即

即
12分

13分

是等差数列,
14分