命题学校：孝感高中 命题人：彭西骏 韩松桥 审题人：徐新斌 黄 鹏

考试时间：2014年3月20日下午15：00—17：00

本试卷共4页，共22题，其中第15、16题为选考题。满分150分。考试用时120分钟。

★ 祝考试顺利 ★

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数z满足
(其中i是虚数单位)
，则z对应的点位于复平面的

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设集合
，
，集合
中所有元素之和为8，则实数的取值集合为

A．
B．

C．
D．

3．下列说法正确的是

A．“
”是“
”的必要条件

B．自然数的平方大于0

C．“若
都是偶数，则
是偶数”的否命题为真

D．存在一个钝角三角形，它的三边长均为整数

4．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是

A．48cm3 B．98cm3 C．88cm3 D．78cm3

5．把函数
的图象上所有的点向左平移
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为

A．
B．

C．
D．

6．已知双曲线
的一条渐近线与圆
相交于
两点，且
，则此双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．5

7．把一个带+q电量的点电荷放在r轴上原点处，形成一个电场，距离原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式
（其中k为常数）确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r轴的方向从
处移动到
处，与从
处移动到
处，电场力对它所做的功之比为

A．
B．
C．
D．

8．如图，在半径为R的圆C中，已知弦AB的长为5，则

A．
B．
C．
D．

9．将一颗骰子连续抛掷三次, 已知它落地时向上的点数恰好依次成等差数列, 那么这三次抛掷向上的点数之和为12的概率为

A．
B．
C．
D．

10．函数
，直线
与函数
的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为
，下列说法错误的是

A．

B．

C．

D．若关于的方程
恰有三个不同实根，则取值唯一

二、填空题：本大题共6个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

（一） 必考题（11—14题）

11．记集合
和集合
表示的平面区域分别为
和
，若在区域
内任取一点
，则点
落在区域
的概率为 .

12．已知正数x, y, z满足x+2y+3z=1, 则
的最小值为 ．

13．定义某种运算
，
的运算原理如右图所示．

设
.则
______；

在区间
上的最小值为______．

14．数学与文学之间存在着许多奇妙的联系.诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！

二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；

三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个；

四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779， 9889，9999，共90个；

由此推测：11位的回文数总共有　　　 个．

(二) 选考题（请考生在第15、16两题中任选一题做答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号所在方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）

15．（选修4-1：几何证明选讲）

如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD//AC． 过点A 作圆的切线与DB的延长线交于点E， AD与BC交于点F．若AB = AC，AE =
， BD = 4，则线段CF的长为______．

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线
（为参数）和曲线
相交于
两点，设线段
的中点为
，则点
的直角坐标为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知向量
，
，函数

．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）在
中，
分别是角
的对边，且
，
，且
，求
的值．

18．（本小题满分12分）

已知数列
的前项和是
，且

．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设

，
，求使
成立的最小的正整数的值．

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥
中，


点
是
的中点，点
在线段
上,且
．

（Ⅰ）求
的长；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

20．（本小题满分12分）

甲乙两个地区高三年级分别有33000人，30000人，为了了解两个地区全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个地区一共抽取了 105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀．

（Ⅰ）计算x，y的值；

（Ⅱ）根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率；若将此优秀率作为概率，现从乙地区所有学生中随机抽取3人，求抽取出的优秀学生人数的数学期望；

（Ⅲ）根据抽样结果，从样本中优秀的学生中随机抽取3人，求抽取出的甲地区学生人数η的分布列及数学期望．

21．（本小题满分13分）

如图所示，已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点
,C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M（4,0）的直线
与抛物线C2分别相交于A、B两点.

（Ⅰ）写出抛物线C2的标准方程；

（Ⅱ）求证：以AB为直径的圆过原点；

（Ⅲ）若坐标原点关于直线
的对称点在抛物线C2上，直线
与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．

22．（本小题满分14分）

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求
的单调减区间；

（Ⅲ）当
时，设
在区间
上的最小值为
，令
，

求证：
．

湖北八校2014届高三第二次联考参考答案

数学（理工类）

选择题

二、填空题：

三、解答题：

18.（1） 当
时，
，由
， ……………………1分

当
时，

∴
是以
为首项，
为公比的等比数列． ……………………4分

故

　 …………………6分

（2）由（1）知
，

………………8分

，

故使
成立的最小的正整数的值
. ………………12分

（2）

设平面MNC的一个法向量为
，则

令
，则
，即
………………9 分

平面ANC的一个法向量为
，

则

故二面角
的余弦值为
. ………………12分

解： (1) 设抛物线的标准方程为

由
得
,

; …………………3分

(2) 可设
,联立
得
,

设

,即以
为直径的圆过原点; ………………8分

(3)设
,则

得

………………10分

设椭圆

，与直线
联立可得：

∴长轴长最小值为
………………13分

(1)当
时，

………………2分

曲线
在点
处的切线方程为：

即
………………3分