日照市2014届高三下学期3月模拟考试

数学（理）试题

2014．3

第I卷(共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合
（e为自然对数的底数）

A.
B.
C.
D.

2.复数

A.
B.
C.
D.

3.三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正（主）视图（如图所示）的面积为8，则侧（左）视图的面积为

A.8 B.4 C.
D.

4.函数
的图象的一条对称轴的方程是

A.
B.
C.
D.

5. “
”是“
”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.若
的弦AB的中点，则直线AB的方程是

A.
B.

C.
D.

7.从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为

A.224 B.112 C.56 D.28

8.现有四个函数①
②
，③
，④
的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是

A.①④②③ B.①④③② C.④①②③ D.③④②①

9. 已知三点
，且
，则动点P到点C的距离小于
的概率为

A.
B.
C.
D.

10. 已知定义在R上的函数
满足：
，
，则方程
在区间
上的所有实根之和为

A.
B.
C.
D.

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.若
展开式中的第5项为常数，则n等于__________.

12. 执行右面的框图，若输出p的值是24，则输入的正整数N应为________.

13.若双曲线
的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率为__________.

14.已知双曲正弦函数
和双曲作弦函数
与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论______________.

15.若关于x的不等式（组）
恒成立，则所有这样的解x构成的集合是____________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16.（本小题满分12分）

已知函数
.

（I）求函数
的最小正周期；

（II）在
中，若
的值.

17.（本小题满分12分）

寒假期间，我市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光花园”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取16名，如果所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）；若幸福度分数不低于8.5分，则该人的幸福度为“幸福”.

（I）求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；

（II）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记
表示抽到“幸福”的人数，求
的分布列及数学期望.

18.（本小题满分12分）

如图，等腰梯形ABCD,AD//BC,P是平面ABCD外一点，P在平面ABCD的射影O恰在AD上，
.

（I）证明：
；

（II）求二面角A-BP-D的余弦值.

19.（本小题满分12分）

已知数列
是首项为
，公比
的等比数列，设
.

（I）求证数列
的前n项和
；

（II）若
对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围.

20.（本小题满分13分）

椭圆
的方程为
，离心率为
，且短轴一端点和两焦点构成的三角形面积为1，抛物线
的方程为
，焦点F与抛物线的一个顶点重合.

（I）求椭圆
和抛物线
的方程；

（II）过点F的直线交抛物线
于不同两点A,B，交y轴于点N，已知
的值.

（III）直线
交椭圆
于不同两点P,Q，P,Q在x轴上的射影分别为P′,Q′，满足
(O为原点)，若点S满足
，判定点S是否在椭圆
上，并说明理由.

21.（本小题满分14分）

已知函数
..

（I）设曲线
处的切线为
，点（1，0）的距离为
，求a的值；

（II）若对于任意实数
恒成立，试确定
的取值范围；

（III）当
是否存在实数
处的切线与y轴垂直？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.

2014届高三模块考试

理科数学答案 2014.3

说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确，准应参照本标准相应评分。

一、选择题：每小题5分，共50分.

CDCAB,ABAAC

（1）解析：答案C,

，

，故
＝
.

（2）解析：答案D,

.

（3）解析：答案C,

由题意知，直三棱柱的棱长为
,底面等边三角形的高为
，所以其左视图的面积为
.

(4)解析：答案A,

由
得
.当
时，

(5)解析：答案B,

等价于
，当
或
时，
不成立；

而
等价于
,能推出
；

所以“
”是“
”的必要不充分条件.

（6）解析：答案A,

圆的圆心为
.由圆的性质知，直线
垂直于弦
所在的直线,则
,即

.又由直线的点斜式方程得直线
的方程为：
,即
.

(7)解析：答案B,根据分层抽样，从8个人中抽取男生1人，女生2人；所以取2个女生1个男生的方法：
.

(8)解析:答案A,

①
在定义域上是偶函数，其图象关于
轴对称；

②
在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称；

③
在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称，

且当
时，其函数值
;

④
,在定义域上为非奇非偶，且当
时，其函数值
,

且当
时，其函数值
.

（9）解析：答案A,动点
满足的不等式组为
，画出可行域可知
的运动区域为以
为中心且边长为
的正方形，而点
到点
的距离小于或等于
的区域是以
为圆心且半径为
的圆以及圆的内部，所以

（10）解析：答案
,由题意知
函数
的周期为
，则函数
在区间
上的图象如下图所示：



由图形可知函数
在区间
上的交点为
，易知点
的横坐标为
，若设
的横坐标为
，则点
的横坐标为
，所以方程
在区间
上的所有实数根之和为
.

二、填空题：

(11)解析：答案
,由

(12) 解析：答案
，把
在框图中运行
次后，结果是
，所以
.

(13)解析：答案
， 由
得
，即
得
，即
.

(14)解析：答案：
.

由右边

左边，故知．

填入
，
，
之一也可．

(15)解析：答案
，不等式等价于
，即

又
（均值不等式不成立）令
故

，所以
，

，（因为
最小值大于
，在
中，可以取等号），故
，解得
或
，所以答案为
.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16.解：（Ⅰ）因为

，

所以函数
的最小正周期为
………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
，

由已知，
，又角
为锐角，所以
，

由正弦定理，得
……………………………12分

17. 解：

（I）记至少有2人是“幸福”为事件
，由题意知

=1-
-
=1-
-
=
； …………………6分

（Ⅱ）
的可能取值为0，1，2，3.

，

，

，

，……………10分

所以
的分布列为：

























……………12分

18．证明：（I）在
中，
，

则
， ∴
⊥
.

∵
⊥平面
，∴
⊥
.

又

平面
，
平面
，且
，

∴
⊥平面
.

又
平面
，∴
⊥
. ………6分

（Ⅱ）由题知，以
为坐标原点，
为
轴，

建立如图空间直角坐标系
.

由已知，
，∴
.

因为等腰梯形
，
，
，

所以
，∴
，
，

，
， …………8分

所以
，
，

，
.

设平面
的法向量为
，则
，

令
，故
，即
.

设平面