日照市2014届高三下学期3月模拟考试

数学（文）试题

2014．3

本试卷分第I卷和第II卷两部分，共5页。满分150分。考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．第II卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第I卷(共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合

A.
B.
C.
D.

2.复数

A.
B.
C.
D.

3.为监测幼儿身体发育状况，某幼儿园对“大班”的100名幼儿的体重做了测量，并根据所得数据画出了频率分布直方图，如图所示.则体重在
（单位kg）的幼儿人数为

A.10 B.15

C.30 D.75

4.函数
的图象的一条对称轴的方程是

A.
B.
C.
D.

5.若
的弦AB的中点，则直线AB的方程是

A.
B.

C.
D.

6.三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正（主）视图（如图所示）的面积为8，则侧（左）视图的面积为

A.8 B.4 C.
D.

7.“
”是“
”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

8.已知函数①
②
，③
，④
的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是

A.①④②③ B.①④③② C.④①②③ D.③④②①

9.已知定义在R上的函数
满足条件；①对任意的
，都有
；②对任意的
；③函数
的图象关于y轴对称.则下列结论正确的是

A.
B.

C.
D.

10.已知三点
，且
，则动点P到点C的距离小于
的概率为

A.
B.
C.
D.

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知
的值为__________.

12.已知双曲线
的一个焦点坐标为
，则其渐近线方程为_______.

13.已知
，函数
的图象过（0，1）点，则
的最小值是______.

14.执行右面的框图，若输出p的值是24，则输入的正整数N应为________.

15.已知双曲正弦函数
和双曲作弦函数
与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论______________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16.（本小题满分12分）

已知函数
.

（I）求函数
的最小正周期；

（II）在
中，若
的值.

17.（本小题满分12分）

某市为了解社区群众体育活动的开展情况，拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个行政区抽出6个社区进行调查.已知A，B，C行政区中分别有12，18，6个社区.

（I）求从A,B,C三个行政区中分别抽取的社区个数；

（II）若从抽得的6个社区中随机的抽取2个进行调查结果的对比，求抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区的概率.

18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，
，Q为AD的中点.

（I）若PA=PD，求证：平面
平面PAD；

（II）点M在线段上，PM=tPC，试确定实数t的值，使PA//平面MQB.

.

19.（本小题满分12分）

已知数列
是首项和公比均为
的等比数列，设
.

（I）求证数列
是等差数列；

（II）求数列
的前n项和
.

20.（本小题满分13分）

如图，椭圆的右焦点
与抛物线
的焦点重合，过
且于x轴垂直的直线与椭圆交于S,T，与抛物线交于C，D两点，且

（I）求椭圆的标准方程；

（II）设P为椭圆上一点，若过点M(2,0)的直线
与椭圆相交于不同两点A和B，且满足
（O为坐标原点），求实数t的取值范围.

21.（本小题满分14分）

已知函数
（e为自然对数的底数）.

（I）设曲线
处的切线为
，若
与点（1，0）的距离为
，求a的值；

（II）若对于任意实数
恒成立，试确定
的取值范围；

（III）当
上是否存在极值？若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由.

2014届高三一轮模拟考试

文科数学参考答案及评分标准2014-3

说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确，准应参照本标准相应评分。

一、选择题：每小题5分，共50分.

CDBCA CBADA

（1）解析：答案：C.
＝


=
.

（2）解析：答案：D．

（3）解析：答案B.由题意可知人数为
.

（4）解析：答案：C.

由
，得
.当
时，

（5） 解析：答案：A.

圆的圆心为
.由圆的性质知，直线
垂直于弦
所在的直线,

则
.所以直线
的方程为：
,

即
.

（6）解析：答案：C．由已知，三棱柱的侧棱长为4，侧视图是一个矩形，它的一边长为4，

另一边长是底面正三角形的高
，所以侧视图的面积为
．

（7）解析：答案：B.
等价于
，当
或
时，
不成立；而
等价于
,能推出
；所以“
”是“
”的必要不充分条件.

（8）解析: 答案：A.

①
是偶函数，其图象关于
轴对称；

②
是奇函数，其图象关于原点对称；

③
是奇函数，其图象关于原点对称，且当
时，其函数值
;

④
为非奇非偶函数，且当
时，
, 且当
时，
.

(9)解析: 答案：D.

函数
的图象关于
轴对称,得
,又
,

所以
，
，

，

由题意，
在
上是增函数，所以
.

（10）解析：答案：A.动点
满足的不等式组为
画出可行域可知
在以
为中心且边长为
的正方形及内部运动，而点
到点
的距离小于
的区域是以
为圆心且半径为
的圆的内部，所以概率
.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

（11）3；（12）
；（13）
；（14）4；

（15）填入
，
之一即可．

（11）解析：答案：3.
，所以

（12）解析：答案：
．由已知，得
所以
，所以其渐近线方程为
．

（13）解析：答案
.由题意得
，所以
.当且仅当
时取等号.

（14）解析：答案：4.把
在框图中运行4次后，结果是24，所以
=4.

（15）解析：答案：填入
，
之一即可．

例证
如下：

.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

（16）解：（Ⅰ）因为

， ………………………………………4分

所以函数
的最小正周期为
………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
， …………………8分

由已知，
，又角
为锐角，所以
， ……………………………10分

由正弦定理，得
……………………………12分

（17）解：（Ⅰ）社区总数为12＋18＋6＝36，样本容量与总体中的个体数比为

所以从
，
，
三个行政区中应分别抽取的社区个数为2，3，1． ……………4分

（Ⅱ）设
为在
行政区中抽得的2个社区，
为在B行政区中抽得的3个社区，
为在
行政区中抽得的社区，在这6个社区中随机抽取2个，全部可能的结果有

共有15种． ……………………………7分

设事件“抽取的2个社区至少有1个来自
行政区”为事件
，则事件
所包含的

所有可能的结果有：

共有9种， ………………………………………………10分

所以这2个社区中至少有1个来自
行政区的概率为
……………12分

（18）解：（Ⅰ）连结
，因为四边形
为菱形，

且
，所以
为正三角形，

又
为
的中点，所以
；………2分

又因为
，Q为AD的中点，所以
.

又
，所以
………4分

又
，所以

……………………………6分

（Ⅱ）证明：因为
平面
，连
交
于
，

由
可得，
∽
，所以
， ………8分

因为
平面
，
平面
，平面

平面

.

所以
， ………10分

因此，
. 即
的值为
. ………………………12分

（19）解：（Ⅰ）由题意知，
， ……………………2分

（常数），

∴数列
是首项
公差
的等差数列. ……………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
,

, …………………………6分

于是
,

两式相减得

……………………11分

. ……………………12分

（20）（Ⅰ）设椭圆标准方程
，

由题意，抛物线
的焦点为
,
.

因为
,所以
………………………2分

又

，

，
,

又