南京市2014届高三年级第二次模拟考试

数 学 2014.03

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

参考公式：

柱体的体积公式：V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．

圆柱的侧面积公式：S侧＝2πRh，其中R为圆柱的底面半径，h为圆柱的高．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．函数f(x)＝lnx＋的定义域为 ▲ ．

2．已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，aR)．若z1z2为实数，则a的值为 ▲ ．

3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．

4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．

5．已知等差数列{an}的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则的值为 ▲ ．

6．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为 ▲ ．

7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f()的值为 ▲ ．

8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线相交于A，B两点．若△AOB的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．

9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．

10．已知||＝1，||＝2，∠AOB＝，＝＋，则与的夹角大小为 ▲ ．

11．在平面直角坐标系xOy中，过点P(5，3)作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为 ▲ ．

12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x＞1时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)，且．

若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为 ▲ ．

13．在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为 ▲ ．

14．设函数f(x)＝ax＋sinx＋cosx．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为 ▲ ．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1．(0，1] 2．4 3．300 4． 5．2 6．4 7．1

8． 9． 10．60° 11．1或 12．2－2 13．(，) 14．[－1，1]

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，

BP＝BC，E为PC的中点．

（1）求证：AP∥平面BDE；

（2）求证：BE⊥平面PAC．

15．证：（1）设AC∩BD＝O，连结OE．

因为ABCD为矩形，所以O是AC的中点．

因为E是PC中点，所以OE∥AP． …………………………………………4分

因为AP平面BDE，OE平面BDE，

所以AP∥平面BDE． …………………………………………6分

（2）因为平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，

所以BC⊥平面PAB． ………………………………………8分

因为AP平面PAB，所以BC⊥PA．

因为PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB平面PBC，

所以PA⊥平面PBC． …………………………………………12分

因为BE平面PBC，所以PA⊥BE．

因为BP＝PC，且E为PC中点，所以BE⊥PC．

因为PA∩PC＝P，PA，PC平面PAC，

所以BE⊥平面PAC． …………………………………………14分

16．(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交

于点A(x1 ，y1 )，α∈(，)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B(x2，y2)．

（1）若x1＝，求x2；

（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及

△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值．

16．解：（1）解法一：因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝．

所以sinα＝，cosα＝． ………………………2分

所以x2＝cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝－． …………………………………6分

解法二：因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝．A(，)，则＝(，)，…………2分

＝(x2，y2)， 因为·＝||||cos∠AOB，所以x2＋y2＝ ……4分

又x22＋y22＝1，联立消去y2得50 x22－30x2－7＝0

解得x2＝－或，又x2＜0，所以x2＝－． ………………………6分

解法三：因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝． 因此A(，)，所以tanα＝．………2分

所以tan(α＋)＝＝－7，所以直线OB的方程为y＝－7x ……………4分

由得x＝±，又x2＜0，所以x2＝－． …………………6分

（2）S1＝sinαcosα＝－sin2α． …………………………………………8分

因为α(，)，所以α＋(，)．

所以S2＝－sin(α＋)cos(α＋)＝－sin(2α＋)＝－cos2α．……………………………10分

因为S1＝S2，所以sin2α＝－cos2α，即tan2α＝－． …………………………………12分

所以＝－，解得tanα＝2或tanα＝－． 因为α(，)，所以tanα＝2．………14分

17．(本小题满分14分)

如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．

解法一：设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．

因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ) ． ………………………………………2分

在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)． …………………………………………6分

AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP

＝sin2(120°－θ)＋4－2×2× sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分

＝sin2(θ＋60°)－ sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4

＝[1－cos (2θ＋120°)]－ sin(2θ＋120°)＋4

＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋

＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分

当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．

答：设计∠AMN为60(时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分

解法二(构造直角三角形)：

设∠PMD＝θ，在△PMD中，

∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ． ……………2分

在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴＝，

AM＝sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，(θ≥时，结论也正确)．……………6分

AP2＝AD2＋PD2＝(sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ)2

＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ …………………………8分

＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋

＝＋sin(2θ－)，θ∈(0，)． …………………………12分

当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．

此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30° …………………………14分

解法三：设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．

在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°，

所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM·AN·cos∠MAN，

即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4． …………………………………………2分

因为＝，即＝，

所以sinα＝y，cosα＝＝＝． …………………………………………6分

cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝cosα－sinα＝·－·y＝．……………………………8分

在△AMP中，AP2＝AM2＋PM2－2 AM·PM·cos∠AMP，

即AP2＝x2＋4－2×2×x×＝x2＋4－x(x－2y)＝4＋2xy．………………………………………12分

因为x2＋y2－xy＝4，4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4．

所以AP2≤12，即AP≤2．

当且仅当x＝y＝2时，AP取得最大值2．

答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分

解法四(坐标法)：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．

设M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)．∵MN＝2，

∴(x1－x2)2＋3x＝4． …………………………………………2分

MN的中点K(，x2)．

∵△MNP为正三角形，且MN＝2．∴PK＝，PK⊥MN．

∴PK2＝(x0－)2＋(y0－x2)2＝3，

kMN·kPK＝－1，即·＝－1， …………………………………………6分

∴y0－x2＝(x0－)，∴(y0－x2)2＝(x0－)2

∴(1＋)(x0－)2＝3，即(x0－)2＝3，∴(x0－)2＝x．

∵x0－＞0 ∴x0－＝x2，

∴x0＝x1＋2x2，∴y0＝x1． …………………………………………8分

∴AP2＝x＋y＝(2x2＋x1)2＋x＝x＋4x＋2x1x2

＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分

即AP≤2．

答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分

解法五(变换法)：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．

设M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)．

∵MN＝2，∴(x1－x2)2＋3x＝4．即x＋4x＝4＋2x1x2

∴4＋2x1x2≥4x1x2，即x1x2≤2． …………………4分

∵△MNP为正三角形，且MN＝2．∴PK＝，PK⊥MN．

顺时针方向旋转60°后得到．

＝(x0－x1，y0)，＝(x2－x1，x2)．

∴＝，即

x0－x1＝(x2－x1)＋x2，y0＝－(x2－x1)＋x2．

∴x0＝2x2＋x1，y0＝x1． …………………………………………8分

∴AP2＝x＋y＝(2x2＋x1)2＋x＝x＋4x＋2x1x2

＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分

即AP≤2．

答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分

解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN不动，点A在运动．

由于∠MAN＝60°，∴点A在以MN为弦的一段圆弧(优弧)上，…………4分

设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，

由图形的几何性质知：AP的最大值为PF＋R． …………8分

在△AMN中，由正弦定理知：＝2R，

∴R＝，