2014年安徽省“江南十校”高三联考

数学（理科）试卷答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C．解析：

2. A.解析：

3.C解析：由题知
，这样的双曲线标准方程有两个

4.D解析：由
得
，所以

5.B解析：值域
,

6.D解析：将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥

7.B解析：回归直线不一定过样本点

8. C解析：由
知
，则
.

9.B解析：根据向量加法的平行四边形法则得动点的轨迹是以
为邻边的平行四边形，其面积为
面积的2倍.在
中，由余弦定理可得
，代入数据解得
，设
的内切圆的半径为，则
，解得
，所以
，故动点的轨迹所覆盖图形的面积为

C解析：
,则
，对任意

恒成立的充要条件是
，解得的取值范围是

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应横线上。

11．

12.
解析：它的展开式的通项公式为
，则
项的系数是

，又
，则

解析：直线
的极坐标方程为
，可化为
，

∴圆心C（1，1）到直线
的距离为
,又∵圆C的半径为
，

∴直线
被曲线C截得的弦长
.

14
解析：根据题意作出不等式组所表示的可行域为
及其内部，又因为
，而
表示可行域内一点
和点
连线的斜率，由图可知
，原不等式组解得
,所以
，从而
。

15（1）（3）（4）（5）解析：显然命题（1）正确；（2）四面体的垂心到四个面的距离不一定相等，（2）命题错误；若四面体
为垂心四面体，垂心为
,则
均与
垂直，从而
,（3）命题正确；设顶点在面
上的射影为,因
，所以
的射影
,同理
,即是
的垂心，（4）命题正确；由（4）设
交
于,则
,即
,(5)命题正确。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答应写在答题卡指定的区域内。

16．解
……………4分

……………6分

（Ⅰ）
……………8分

（Ⅱ）因为
， 所以
． ……………10分

所以当
，即
时，
有最大值
. ……………12分

17解：（Ⅰ）设“取出的
个球中编号最大数值为
的球”为事件,则最大数值为3相当于从编号为
的红色球和编号为
的白色球中任取
个，其概率
。 ……………4分

（Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3，4， ……………5分

,
,
,
,

所以
的分布列为 ……………9分

ξ

1

2

3

4



P











故
. ……………12分

18解：对
求导得
① ……………2分

（I）若
，由
……………3分

综合①,可知















+

0

－

0

+





↗

极大值

↘

极小值

↗



所以,
是极大值点,
是极小值点. （注：未注明极大、极小值扣1分）……………6分

（II）若
为
上的单调函数，又
，所以当
时
，即
在
上恒成立。 ……………8分

（1）当
时，
在
上恒成立； ……………9分

（2）当
时，抛物线
开口向上，则
在
上为单调函数的充要条件是
，即
，所以
。 ……………11分

综合（1）（2）知的取值范围是
。 ……………12分

证明（Ⅰ）如图，连接
分别为
的中点，
是
的中位线，
且
.又
且
//
且
，

四边形
是平行四边形，即
,

又
. ……………4分

（Ⅱ）
为直径，
,又
,从而
,
，
,
………8分

（III）如图，作过
的母线
,连接
,则
是上底面圆
的直径，连接
,则
,又
,过
作
,连接
,则
,所以
为二面角
平面角的补角。 ……………10分

为正方形，
（为圆柱半径），在
中，
。

平面
与平面
所成二面角
的余弦值是
。 ……………12分

法二：分别以
为
轴建系，设
则
，平面
的法向量
，又
，设平面
的法向量
，则由
得
，取
，则
，二面角
余弦值是
。………12分

20解：（1）由题意知
， ……………2分

，椭圆的标准方程是
。 ……………4分

（2）联立
……………5分

由

得
( ……………7分

记
，则

因
,所以
,故
三点共线
……………10分

( ……………12分

由((知
三点共线的充要条件是
且
。 ……………13分

21解（Ⅰ）由原式可得
……………2分

记
，则
， ……………3分

又
，所以，数列
是首项为
，公差为
的等差数列。………4分

从而有
，故