北京市东城区2014届高三3月质量调研

数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合A＝{x|
}，B＝{x|x 2－2x－3≤0}，则A∩(
RB)＝

A．(1，4) B．(3，4) C．(1，3) D．(1，2)

2．已知i是虚数单位， 若
则z=

A．1－2i B．2－i C．2＋i D．1＋2i

3．设a
R，则“a＝-2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与

直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．将函数
的图象沿
轴向左平移
个单位后，得到一个偶函数的图象，则
的一个可能取值为

A.
B.
C.
D.

5．设a，b是两个非零向量．则下列命题为真命题的是

A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b

B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|

C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb

D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|

6．某几何体的一条棱长为
，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为

的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为
和
的线段，则
的最大值为

A.
　 B.
C.
D.

7 已知抛物线
：

的焦点与双曲线
：
的右焦点的连线交
于第一象限的点
,若
在点
处的切线平行于
的一条渐近线，则

A.
B.
C.
D.

8．设a＞0，b＞0．

A．若
，则a＞b

B．若
，则a＜b

C．若
，则a＞b

D．若
，则a＜b

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．记等差数列
的前n项和为
，已知
.

则
．

10．如图，
与圆
相切于
，不过圆心
的割线
与

直径
相交于
点.已知∠
=
，
，

,则圆
的半径等于 ．

11. 若函数
有零点，则k的取值范围

为_______.

12．已知圆的方程为
,设该圆过点（3，5）的最长弦和最短

弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_______________.　

13．已知
的展开式中没有常数项，
，且2 ≤ n ≤ 7，

则n=______．

14．设a
R，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，

则a＝______________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．(本小题满分13分)

设
的内角
所对的边长分别为
，

且
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的最大值．

16．(本小题满分13分)

某绿化队甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技能考核.

（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；

（II）求从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率；

（III）记
表示抽取的3名工人中男工人数，求
的分布列及数学期望.

17．(本小题满分14分)

在四棱锥
中，底面
是矩形，
平面
，
，
. 以
的中点
为球心、
为直径的球面交
于点
，交
于点
.

（Ⅰ）求证：平面
⊥平面
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成的角的正弦值；

（Ⅲ）求点
到平面
的距离.

18.（本小题满分14分）

已知函数
，其中

若
在x=1处取得极值，求a的值；

求
的单调区间；

（Ⅲ）若
的最小值为1，求a的取值范围 .

19．(本小题满分14分)

椭圆C：
(a＞b＞0)的离心率为
，其左焦点到点P(2，1)的距离为
．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）若直线
与椭圆
相交于
，
两点（
不是左右顶点），且以
为直径的圆过椭圆
的右顶点.求证：直线
过定点，并求出该定

点的坐标．

20.（本题满分12分）

在数列
中，a1=2，b1=4，且
成等差数列，
成等比数列（
）

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此归纳出
的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明：

东城区2013-2014学年度第二学期教学检测

高三数学答案 （理科）

一、选择题： 1．B；2．D；3．A；4．C； 5．C；6．C；7． D；8．A．

（第8题的提示：若
，必有
．构造函数：
，则
恒成立，故有函数
在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除．）

二、填空题： 9．10； 10．7； 11.
； 12 . 20
；13．5； 14．

（第14题的提示: 函数y1＝(a－1)x－1，y2＝x 2－ax－1都过定点P(0，-1)．

函数y1＝(a－1)x－1：过M(
，0)，可得：a＞1；

函数y2＝x 2－ax－1：显然过点M(
，0)，得：
，舍去
，）

三、解答题：

15．(本小题满分13分)

（Ⅰ）在
中，

由正弦定理及

可得

即
，则
=4. --------6分

（Ⅱ）由(Ⅰ)得

当且仅当
时，等号成立，

故当
时，
的最大值为
. --------13分

16．(本小题满分13分)

（I）从甲组抽取2人, 从乙组抽取1人. --------2分

（II）.从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率

--------5分

（III）
的可能取值为0，1，2，3

,
，
,

0

1

2

3



P












. --------13分

17．(本小题满分14分)

（Ⅰ）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC。

又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，

所以CD⊥平面ＰＡＤ，则CD⊥AM，

所以A M⊥平面PCD，

所以平面ABM⊥平面PCD --------5分

方法一：

（Ⅱ）由（1）知，
，又
，

则
是
的中点可得,

，

则

设D到平面ACM的距离为
，

由
即
，可求得
，

设所求角为
，则
. --------10分

(Ⅲ)可求得PC=6, 因为AN⊥NC，由
，得PN
,

所以
,

故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的
.

又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，

由（Ⅱ）可知所求距离为
. --------14分

方法二：

（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，

则
，
，
，

，
，
；

设平面
的一个法向量
，

由
可得：
，

令
，则
.

设所求角为
，则
.

--------10分

（Ⅲ）由条件可得，
.

在
中，
,所以
,

则
,
，

所以所求距离等于点
到平面
距离的
，

设点
到平面
距离为
则
，

所以所求距离为
. --------14分

18.（本小题满分14分）

（Ⅰ）

∵
在x=1处取得极值，∴
解得

--------4分

（Ⅱ）

∵
∴

①当
时，在区间
∴
的单调增区间为

②当
时，

由

∴

--------10分

（Ⅲ）当
时，由（Ⅱ）①知，

当
时，由（Ⅱ）②知，

在
处取得最小值

综上可知，若
得最小值为1，则a的取值范围是
--------14分

19．(本小题满分14分)

(Ⅰ)由题：
； (1)

左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：

． (2)

由(1) (2)可解得：
．

∴所求椭圆C的方程为：
． --------5分

(II)设
，由
得
，

，
.

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点

，

，
，

，
，解得

，且满足
.

当
时，
，直线过定点
与已知矛盾；

当
时，
，直线过定点

综上可知，直线
过定点，定点坐标为
--------14分

20.（本题满分12分）

（Ⅰ）由条件得

由此可得

．

猜测
． 4分

用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即

，

那么当n=k+1时，

．

所以当n=k+1时，结论也成立．

由①②，可知
对一切正整数都成立． 7分

（Ⅱ）
．

n≥2时，由（Ⅰ）知
．

故

综上，原不等式成立． 12分