北京市东城区2014届高三3月质量调研

数学（文）试题

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

选择题部分（共40分）

一 、选择题： 本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则P∩（CUQ）=

A.{1，2，3，4，6} B.{1，2，3， 4，5}

C.{1，2，5} D.{1,2}

2. 在某次测量中得到的A样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是

A. 众数　　 　B..平均数　 　　C.中位数　 　　 D.标准差

3. 已知i是虚数单位，若
,则z的共轭复数为

A 1-2i B 2-4i C
D 1+2i

4．设
是直线，a，β是两个不同的平面,

A. 若
∥a，
∥β，则a∥β B. 若
∥a，
⊥β，则a⊥β

C. 若a⊥β，
⊥a，则
⊥β D. 若a⊥β,
∥a，则
⊥β

5． 函数
的最大值与最小值之差为

A　
　　 B. 4　　　 C. 3　　　 D.

6．
“是函数
在区间
内单调递增”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7．已知双曲线
：
的离心率为2.若抛物线

的焦点到双曲线
的渐近线的距离为2，则抛物线
的方程为

A.
　B.
　　C.
　　D.

8．已知
，且

，现给出如下结论：

①
；②
；③
；④
.

其中正确结论的序号是（ ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

非选择题部分（共110分）

二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 已知变量x、y满足条件
则
的最大值是______.

10. 经过圆
的圆心
，且与直线
垂直的直线

方程是 ．

11. 曲线
在点（0,1）处的切线方程为 .

12. 在数列
中，
，
，则

13. 已知平面向量
，．
若
，

则
_____________．

14. 定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知

曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距

离，则实数a=_______.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题满分12分）

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=
acosB。

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积.

16. （本题满分14分）

如图，在三棱锥
中，⊿
是等边三角形，

∠PAC=∠PBC=90 o

（Ⅰ）证明:：AC=BC；

（Ⅱ）证明：AB⊥PC；

（Ⅲ）若
，且平面
⊥平面
，

求三棱锥
体积.

17. （本题满分13分）

一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):

轿车A

轿车B

轿车C



舒适型

100

150

z



标准型

300

450

600



按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.

(Ⅰ) 求z的值；

(Ⅱ) 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率；

(Ⅲ) 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

18．（本题满分14分）

设函数

（Ⅰ）设
，
，证明：
在区间
内存在唯一的零点；

（Ⅱ）设
，若对任意

，有
，求
的取值范围．

19. （本题满分14分）

已知椭圆
，椭圆
以
的长轴为短轴，且与
有相同的离心率．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设
为坐标原点，点
分别在椭圆
和
上，
，求直线
的方程．

20. （本题满分13分）

对于项数为m的有穷数列数集
，记
（k=1,2,…,m），即
为
中的最大值，并称数列
是
的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.

（Ⅰ）若各项均为正整数的数列
的控制数列为2,3,4,5,5，

写出所有的
；

（Ⅱ）设
是
的控制数列，满足
（C为常数，k=1,2,…,m）.求证：
（k=1,2,…,m）.

东城区2013-2014学年度第二学期教学检测

高三数学答案 （文科）

一 、选择题：1.D; 2.D; 3.A; 4.B; 5.A; 6.C;; 7.D; 8.C.

二、填空题: 9. 6; 10.
; 11.
;

12.
; 13.
; 14.

三、解答题：

15.（本题满分12分）

（Ⅰ）
bsinA=
acosB，

由正弦定理可得
，

即得
，
. . ………………5分

（Ⅱ）
sinC=2sinA，由正弦定理得
，

由余弦定理
，
，

解得
，
.

△ABC的面积=
………………12分

16. （本题满分14分）

（Ⅰ）因为
是等边三角形，
,

所以
,可得
.

………………3分

（Ⅱ）如图，取
中点
，连结
,
,

则
,
,

所以
平面
,

所以
. ．．．．．．7分

(Ⅲ)作
，垂足为
，连结
．

因为

，

所以
，
．

由已知，平面

平面
，故
．　　　　

因为
，所以
都是等腰直角三角形。

由已知
，得
，
的面积
．

因为

平面
，

所以三棱锥
的体积
　 ．．．．．．14分

17. （本题满分13分）

: (Ⅰ).设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,
,

所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400 ．．．．．．3分

(Ⅱ) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车,

因为用分层抽样, 所以
,解得m=2,

即抽取了2辆舒适型轿车, 3辆标准型轿车,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,

则从中任取2辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10个,

其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: ,(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为
. ．．．．．．9分

(Ⅲ)样本的平均数为
,

那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数为8,

所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为
.. ．．．．．．13分

18．（本题满分14分）

（Ⅰ）当

．

又当
，

．

．．．．．．6分

（Ⅱ）当
时，
．

对任意

上的最大值 与最小值之差
,据此分类讨论如下：

（ⅰ）
，

．

（ⅱ）
，

．

（ⅲ）
，

．

综上可知，
． ．．．．．．14分

19. （本题满分14分）

（Ⅰ）由已知可设椭圆
的方程为
，

其离心率为
，故
，则
．

故椭圆
的方程为
． ．．．．．．5分

（Ⅱ）设
两点的坐标分别为
，

由
及（Ⅰ）知，
三点共线且点
不在

轴上，因此可设直线
的方程为
．

将
代入
中，得
，

所以
，

将
代入
中，得
，

所以
，

又由
，得
，即
．

解得
，故直线
的方程为
或
．

．．．．．．14分

20. （本题满分13分）

（Ⅰ）数列
为：2, 3, 4, 5, 1； 2, 3, 4, 5, 2； 2, 3, 4, 5, 3；

2, 3, 4, 5, 4； 2, 3, 4, 5, 5. ……5分

（Ⅱ）因为
，

，

所以
.

因为
，
，

所以
，即
.

因此，
. ……13分