江西师大附中、临川一中高三联考数学(理)试卷

命题人:欧阳晔 审题人:熊黎明
2014.1.23

一、选择题(本大题共10小题，每个小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的)

1．已知集合
,
,则
( )

A．
B．
C.
D.

2．复数
在复平面上对应的点的坐标为( )

A．
B．
C．
D．

3．下列命题中正确的是( )

A．若
,则

B．若
为真命题,则
也为真命题

C．“函数
为奇函数”是“
”的充分不必要条件

D．命题“若
,则
”的否命题为真命题

4．已知变量
满足约束条件
,则
的最大值( )

A．9 B．8 C．7 D．6

5．若直线
与
垂直,则二项式
展开式中
的系数为( )

A．
B．
C．10 D．40

6．已知函数
,根据下列框图,输出S的值为( )

A．670 B．
C．671 D．672

7
．已知点P(3,4)和圆C:(x
2)2+y2=4,A,B是圆C上两个动点,且|AB|=
,则

(O为坐标原点)的取值范围是( )

A．[3,9] B．[1,11] C．[6,18] D．[2,22]

8．把函数
的图像向左平移
后,得到
的图像,则
与
的图像所围成的图形的面积为( )

A．4 B．
C．

D．2

9．已知棱长为1的正方体ABCD
A1B1C1D1中, P,Q是面对角线A1C1上的两个不同动点.

①存在P,Q两点,使BP
DQ;

②存在P,Q两点,使BP,DQ与直线B1C都成450的角;

③若|PQ|=1,则四面体BDPQ的体积一定是定值;

④若|PQ|=1,则四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值.

以上命题为真命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

10．已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个公共点,
又分别是两曲线的离心率,若PF1
PF2,则
的最小值为( )

A．
B．4 C．
D．9

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卡上)

11．在等差数列
中,
,
,则该数列前20项的和为____.

12．把甲、乙、丙、丁、戊5人分配去参加三项不同的活动,其中活动一和活动二各要2人,活动三要1人,且甲,乙两人不能参加同一活动,则一共有_____种不同分配方法.

13．已知正三棱锥P
ABC中,E,F分别是AC,PC的中点,若EF
BF,AB=2,则三棱锥P
ABC的外接球的表面积为_________.

14．已知下列等式：

观察上式的规律,写出第
个等式________________________________________.

15．对于函数
的定义域为D,如果存在区间
同时满足下列条件:

①
在[m,n]是单调的;②当定义域为[m,n]时,
的值域也是[m,n],则称区间[m,n]是该函数的“H区间”.若函数
存在“H区间”,则正数
的取值范围是____________.

三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(12分)已知
ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若向量
与向量
共线.

(1)求角C的大小;

(2)若
,求a,b的值.

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

17．(12分)某商家推出一款简单电子游戏,弹射一次可以将三个相同的小球随机弹到一个正六边形的顶点与中心共七个点中的三个位置上(如图),用S表示这三个球为顶点的三角形的面积.规定:当三球共线时,S=0;当S最大时,中一等奖,当S最小时,中二等奖,其余情况不中奖,一次游戏只能弹射一次.

(1)求甲一次游戏中能中奖的概率;

(2)设这个正六边形的面积是6,求一次游戏中随机变量S的分布列及期望值.

18．(12分)已知平行四边形ABCD (图1)中, AB=4,BC=5,对角线AC=3,将三角形
ACD沿AC
折起至
PAC位置(图2),使二面角
为
600,G,H分别是PA,PC的中点.[来源:Zxxk.Com]

(1)求证:PC
平面BGH;

(2)求平面PAB与平面BGH夹角的余弦值.

19．(12分)已知正项数列{an}中,a1=1,且log3an,log3an+1是方程x2
(2n
1)x+bn=0

的两个实根.

(1)求a2,b1;

(2)求数列{an}的通项公式;

(3)若
,
是
前

项和,
,当
时,试比较
与
的大小.

20．(13分)已知抛物线C:
,定点M(0,5),直线
与
轴交于点F,O为原点,若以OM为直径的圆恰好过
与抛物线C的交点.

(1)求抛物线C的方程;

(2)过点M作直线交抛物线C于A,B两点,连AF,BF延长交抛物线分别于
,求证
: 抛物线C分别过
两点的切线的交点Q在一条定直线上运动.

[来源:Z|xx|k.Com]

21．(14分)已知函数
.

(1)当
时,求函数
的单调区间;

(2)若函数
有两个极值点
,且
,求证:
;

(3)设
,对于任意
时,总存在
,使
成立,求实数
的取值范围.

江西师大附中、临川一中2014届高
三联考数学(理)答案

1~5.C B D B A 6~10 .C D D C C

11.300 12.24 13.

14.
15.

16.解:(1)

,

,

(2)

①

②, 由①②得
或{

17.解:(1)甲中奖的概率为

(2)S的可能值为:0,1,2,3,其分布列为

S

0

1

2

3



P


[来源:学科网ZXXK]











18(1)证明:过C作
且
,连BE,PE

,

四边形
是矩形,

平面PEC,

是正三角形

平面PEC

=5=BC,

而H是PC的中点,
,
是
的中位线,
,

,
平面BGH.

(2)以CE的中点O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则
,

,
,

先求平面PAB的法向量为
,而平面BGH的法向量为
,

设平面PAB与平面BGH的夹角为
,则
.

19解:(1)
,

当
时,
,
,

,

(2)
,
,

的奇数项和偶数项分别是公比为9
的等比数列
.

,
,

[来源:Z,xx,k.Com]

(3)

当
时,
=0,
=0,
.

当
时,

0+
=

综上,当
时,
,当
时,
.

或

猜测
时,
用数学归纳法证明

①当
时,已证

②假设
时,
成立

当
时,

即
时命题成立

根据①②得当
时,

综上,当
时,
,当
时,
.

20解:(1)
直线
与
轴的交点
为抛物线C的焦点,又以
为直径的圆恰好过直线
抛物线的交点,
,

所以抛物线C的方程为

(2)由题意知直线AB的斜率一定存在,设直线AB的方程为
,

又设
,

共线,
,

,


,同理可求

,
过点
的切线的斜率为
,切线方程为:
,

同理得过点
的切线方程为:
,联立得:

由

,即点Q在定直线
上运动.

21解:

(1)当
时,
,

令
或
,
,

的递增区间为
和
,递减区间为
.

(2
)由于
有两个极值点
,则
有两个不等的实根,

设

,
在
上递减,

,即
.

(3)
,

,
,
在
递增,

,

在

上恒成立

令
,

则
在
上恒成立

,又

当
时，
,
在(2,4)递减,
,不合;

当
时,
,

①
时,
在(2,
)递减,存在
,不合;

②
时,
在(2,4)递增,
,满足.

综上, 实数
的取值范围为
.