山西省山大附中2014届高三下学期第二次月考

数学文试题

考试时间：120分钟 满分：150分 考查内容：高中全部

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）

1.　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( )

A　
B　
C　1 D　-1

2.　抛物线
的焦点坐标是　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　( )

A　(0，
) B　(
，0) C　(1，0) D　(0，1)

3.　m=3”是“直线（m-1）x+2my+1=0与直线(m+3)x-(m-1)y+3=0相互垂直”的 ( )

A　充分不必要条件 B　必要不充分条件 C　充要条件 D　既不充分也不必要条件

4.　已知
，则sin2x的值为 　　 ( )

A
B　
C　
D　

5.　已知m、n是不重合的直线，
、
是不重合的平面，给出下列四个命题

①
②

③若
④

其中正确命题的个数为 　　 （ ）

A　1个 B　2个 C　3个 D　4个

6.平面向量
、
的夹角为
，
，
， 则
　　　（ ）

A
B
C
D 2

7. 双曲线
和椭圆

的离心率互为倒数，那么（ 　）

A
B
C　
D

8. 实系数方程
的两根为
、
，且
，则
的 取值范围是 　 （ ）

A　(
，1) B　(
，1) C　(
，
) D　(
，
)

9. 已知两个正数
满足
，则
取最小值时
的值分别为 （ ）

A　5，5 B　10，
C　10，5 D　10，10

10.　对于任意整数
，函数
满足
，若
，那么
（ ）

A 　－1 B 1 C 19 D 43

11.已知等比数列
的公比
，其前
项为
，
与
的大小关系是 （ 　）

A　
＞
　　　　B
＝

C
＜
D
与
的大小关系与
的值有关

12.函数
的零点个数为 （ ）

A.3 B.2 C.5 D.4

二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分。）

13.　若不等式
对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是___ ．

14.若实数a，b满足
，则关于x的方程
有实数根的概率是___ ．

15.若数列
满足
，则称数列
为调和数列。已知数列
为调和数列，且x1+x2+…+ x20=200，则x5+x16= .

16.给出下列五个命题：①不等式x2－4ax＋3a2＜0的解集为{x|a＜x＜3a}；②若函数y＝f(x＋1)为偶函数，则y＝f(x)的图象关于x＝1对称；③若不等式|x－4|＋|x－3|＜a的解集为空集，必有a≥1；④函数y＝f(x)的图像与直线x＝a至多有一个交点；⑤若角α，β满足cosα·cosβ＝1，则sin(α＋β)＝0．其中所有正确命题的序号是_________________．

三、解答题：共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）设向量
＝(1，cos2θ)，
＝(2，1)，
＝(4sinθ，1)，
＝(
sinθ，1)，

其中θ∈(0，
)．

(1)求
·
－
·
的取值范围；(2)若函数f(x)＝|x－1|，比较f(
·
)与f(
·
)的大小．

18.（12分）某校高三数学竞赛考试后，对90分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示、。若130～140分数段的人数为2人。

（1）请估计一下这组数据的平均数M；

（2）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶小组。若选出的两人成绩差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率。

19.（12分）如图，在三棱锥B－ACD中，AB＝BD＝CD＝1，

AC＝
，BE⊥AC，CD⊥DE，∠DCE＝30°。

（1）求证：平面BED⊥平面ACD；

（2）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值。

20.（12分）已知函数

（1）若函数
在
，
处取得极值，且
，求
的值及
的单调区间；

（2）若
，求曲线
与
的交点个数。

21．（12分）已知抛物线
的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且
过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。

（1）证明
为定值；

（2）设△ABM的面积为S，写出
的表达式，并求S的最小值。

请在第22～23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22. （10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为
(α为参数)．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos
.点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值

23.（10分）设函数

（1）解不等式
；

（2）若关于x的不等式
有解，求实数a的取值范围。

月考答案

1．C　2．D　3．A　4．D　5．C　6．A　7．A　8．A　9．B　10．C　11．A　12．A　

13．
　14．
　　　15．20 　16．②④⑤

17．解：（1）∵
∴
，

∵
，∴
∴
，∴
。

（2）∵
，

，

∴
，

∵
，∴
，∴
， ∴
。

18．0.005×10　130～140频率为0.05　由条件得总人数
人

　　　90～100人数　40×0.1＝4人

　　　100～110人数　40×0.25＝10人

　　　110～120人数　40×0.45＝18人

　　　120～130人数　40×0.15＝6人

　　　130～140人数　　　　　2人

（1）

＝95×0.1+105×0.25+115×0.45+125×0.15+135×2＝113分

　 （2）

19．

　

20．解：（1）
　　△＞0　即

两根
，

+
＝2
　
·
＝－1　

｜
+
｜＝2　即（
+
）2－
·
＝4
∴
　∴

　
或

　

∴
在（－∞，－1）增，在（－1，1）减，在（1，+∞）增

　 （2）

　　　　　　

　

　

∵
　∴
在
上单调递增，在
上单调递减，

∴曲线
与
的交点个数是1个。

21.(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由＝λ， 即得　　(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)， 

将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得　　y1＝λ2y2 ③

解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，

抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．

所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是

y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，

即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．

解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)． ……4分

所以·＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0

所以·为定值，其值为0．　　　……7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．

|FM|＝＝

＝

＝＝＋．

因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以

|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．

于是　　S＝|AB||FM|＝ (＋)3，

由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．

22．ρcos＝2化简为ρcos θ＋ρsin θ＝4，则直线l的直角坐标方程为x＋y＝4.

设点P的坐标为(2cos α，sin α)，得P到直线l的距离d＝，

即d＝，其中cos φ＝，sin φ＝.

当sin(α＋φ)＝－1时，dmax＝2＋.

23.解： （1）
或
或

解得
或
或
，所以解集为

(2).
,可知在
上，f(x)单减，
上，f(x)单增。

要
有解，只要
。由f(x)单调性知
。所以
。