江苏省苏锡常镇四市2014届高三3月教学情况调研（一）

数学试题

数学Ⅰ试题

命题单位：常州市教育科学研究院 2014．3

参考公式：

柱体的体积公式：V柱体=
，其中S是柱体的底面积，h是高．

直棱柱的侧面积公式：S直棱柱侧=ch，其中c是直棱柱的底面周长，h是高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．已知集合
，
，若
，则
▲ ．

2．若复数z =
（
为虚数单位），则 | z | = ▲ ．

3．已知双曲线
的离心率为
，则实数m的值为 ▲ ．

4．一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：
，2；

，3；
，4；
，5；
，4；
，2．则样本在
上的频率是 ▲ ．

5．执行如图所示的算法流程图，则最后输出的
等于 ▲ ．

6．设函数
，若
，则
的值为 ▲ ．

7． 四棱锥P ( ABCD 的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD

且PA = 4，则PC与底面ABCD所成角的正切值为 ▲ ．

8．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ▲ ．

9．已知
，
，则
的值为 ▲ ．

10．设等差数列
的前
项和为
，若
，
，
，则正整数
= ▲ ．

11．已知正数
满足
，则
的最小值为 ▲ ．

12．如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，
，设
∥
，若

，则
的值为 ▲ ．

13．已知函数

，若函数
恰有两个不同的零点，则实数
的取值范围为 ▲ ．

14．在平面直角坐标系
中，已知点
在圆
内，动直线
过点
且交圆
于
两点，若△ABC的面积的最大值为
，则实数
的取值范围为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

设函数
．

（1）求
的最小正周期和值域；

（2）在锐角△
中，角
的对边分别为
，若
且
，
，求
和
．

16．（本小题满分14分）

如图，在三棱柱
中，侧面
为菱形， 且
，
，
是
的中点．

（1）求证：平面
平面
；

（2）求证：
∥平面
．

17．（本小题满分14分）

一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形
（如图所示，其中O为圆心，
在半圆上），设
，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．

（1）求V关于θ的函数表达式；

（2）求
的值，使体积V最大；

（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系
中，已知
，
，
是椭圆
上不同的三点，
，
，
在第三象限，线段
的中点在直线
上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求点C的坐标；

（3）设动点
在椭圆上（异于点
，
，
）且直线PB，PC分别交直线OA于
，
两点，证明
为定值并求出该定值．

19．（本小题满分16分）

设各项均为正数的数列
的前n项和为Sn，已知
，且
对一切
都成立．

（1）若λ = 1，求数列
的通项公式；

（2）求λ的值，使数列
是等差数列．

20．（本小题满分16分）

已知函数
，其中m，a均为实数．

（1）求
的极值；

（2）设
，若对任意的

，
恒成立，求
的最小值；

（3）设
，若对任意给定的
，在区间
上总存在
，使得
成立，求
的取值范围．

2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）

数学Ⅱ（附加题）

命题单位：常州市教育科学研究院 2014．3

21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：几何证明选讲

如图，⊙
为四边形
的外接圆，且
，
是
延

长线上一点，直线
与圆
相切．

求证：
．

B．选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵
，
，计算
．

C．选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，圆的参数方程为
，以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：

（1）圆的直角坐标方程；

（2）圆的极坐标方程．

D．选修4—5：不等式选讲

已知函数
，若函数
的图象恒在
轴上方，求实数
的取值范围．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为
，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．

（1）求甲同学至少有4次投中的概率；

（2）求乙同学投篮次数
的分布列和数学期望．

23．（本小题满分10分）

设
，
且
，其中当
为偶数时，
；当
为奇数时，
．

（1）证明：当
，
时，
；

（2）记
，求
的值．

2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）

数学Ⅰ试题参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．
2．
3. 4 4.
5．63 6．2 7．
8.
9．

10．13 11．9 12．
13.
14.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 解：（1）
=

=
． …………………3分

所以
的最小正周期为
， …………………4分

值域为
． …………………6分

（2）由
，得
．

为锐角，∴
，
，∴
． …………………9分

∵
，
，∴
． …………………10分

在△ABC中，由正弦定理得
． …………………12分

∴
． …………………14分

16．（1）证明：∵
为菱形，且
，

∴△
为正三角形． …………………2分

是
的中点，∴
．

∵
，
是
的中点，∴
． …………………4分

，∴
平面
． …………………6分

∵
平面
，∴平面
平面
． …………………8分

（2）证明：连结
，设
，连结
．

∵三棱柱的侧面
是平行四边形，∴
为
中点． …………………10分

在△
中，又∵
是
的中点，∴
∥
． …………………12分

∵
平面
，
平面
，∴
∥平面
． …………………14分

17．解：（1）梯形
的面积

=
，
． …………………2分

体积
． …………………3分

（2）
．

令
，得
，或
（舍）．

∵
，∴
． …………………5分

当
时，
，
为增函数；

当
时，
，
为减函数． …………………7分

∴当
时，体积V最大． …………………8分

（3）木梁的侧面积
=
，
．

=
，
．…………………10分

设
，
．∵
，

∴当
，即
时，
最大． …………………12分

又由（2）知
时，
取得最大值，

所以
时，木梁的表面积S最大． …………………13分

综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． …………………14分

18．解：（1）由已知，得
解得
…………………2分

所以椭圆的标准方程为