江西师大附中、临川一中2014届高三上学期期末联考

数学试卷（文）

命题人：朱红霞 审题人：邱帆

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．在复平面内，复数
（
是虚数单位）所对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设集合
,
，则
等于

A．
B．
C．
D．

3. 已知
，则
[来源:Zxxk.Com]

A．
B．
C．
D．

4. 在直角三角形
中，
，
，点
是斜边
上的一个三等分点，则

A．0 B．
C．
D．4

5．设
是等差数列
的前
项和，若
，则
＝

A．1 B．－1 C．2 D．

6．已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 函数
的零点个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

8．若抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合,则
的值为

A．
B．
C．
D．

9. 设
是定义在
上的偶函数,且当
时,
.若对任意的
,不等式
恒成立,则实数
的最大值是

A．
B．
C．
D．2

10. 如图，半径为1的圆
切直线
于
点，射线
从

出发绕着
点顺时针方向旋转到
，旋转过程中
交

⊙
于点
，记
为
，弓形
的面积
，

那么
的大致图象是

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡中的横线上.）

11. 已知函数
，则
.

12．运行如图所示的程序框图，若输入
，则输出
的值为 .

13. 如图，三棱锥S-ABC中，SA=AB=AC=2，

，M、N分
别
为SB、SC上的点，

则△AMN周长最小值为 .

已知函数
, 若
, 则实数
的取 [来源:学+科+网]

值范围 .

15
. 若实数
满足
则
的最小值为 .

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分12分）

已知数列
为等差数列，且
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）证明
…
.

17.（本小题满分12分）

如图所示，扇形AOB,圆心角AOB的大小等于
，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.

（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的长；

（2）设
,求
面积的最大值及此时
的值.

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

18.（本小题满分12分）

城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求.某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位
：分钟）：

组别

候车时间

人数



一



2



二



6



三



4



四



2



五[来源:学.科.网]



1



（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；

（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．

19．（本题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
底面
，
，点
是
的中点，
，交
于点
．

（1）求证：平面
平面
；

（2）求三棱锥
的体积．

20.（本小题满分13分）

已知椭圆C：

的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的

对称点为A1．求证：直线A1B过x轴上一定点，并求出此定点坐标．

21．（本小题满分14分）

已知函数
的图像过坐标
原点
，且在点
处的切线斜率为
.

(1) 求实数
的值；

(2) 求函数
在区间
上的最小值；

(3) 若函数
的图像上存在两点
，使得对于任意给定的正实数
都满足
是以
为直角顶点的直角三角形，且三角形斜边中点在
轴上，求点
的横坐标的取值范围.

江西师大附中、临川一中2014届高三上学期期末联考

数学答案（文）

一、1—5 B C D D A 6—10 B B C C A

二、11.10 12.11 13.
14.
15.

三、解答题

16.解析：（1）设等差数列的公差为d，

由
得
即d=1； …………3分

所以
即
． …………6分

（2）证明：
　　　　　　　　　　…………8分

所以
…
…
…12分

17.解析:(1)在
中，
,
,由

·
·············5分

（2）
平行于

在
中，由正弦定理得
，即

，

又
,
. ··············8分

记
的面积为
，则

=
， ·············10分

当
时，
取得最大值
. ··············12分

18.解:（1）候车时间少于10分钟的概率为
， ………………4分

所以候车时间少于10分钟的人数为
人． ……………
…………6分

（2）将第三组乘客编号为
，第四组乘客编号为
．从6人中任选两人有包

含以下基本事件：
，

，
，
，

， ………………10分

其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件,所以,所求概率为
． …………12分

19.证明：（1）∵
底面
，∴

又
∴
面

∴
······①··········3分

又
，且
是
的中点，∴
·········②

由①②得
面
∴

又
∴
面

∴平面
平面
····················6分

（2）∵
是
的中点，∴
.·······9分

······12分

20.

·················5分

（2）设直线
：
与
联立并消去
得：

.

记
，
，
，

. ························8分

由A关于
轴的对
称点为
，得
，根据题设条件设定点为
（
，0），

得
，即
.

所以

即定点
（1 ， 0）.……………13分

21．解：（1）当
时，
，

依题意
，

又
故
...............3分

（2）当
时，

令
有
，故
在
单调递减；
在
单调递增；

在
单调递减．又

,

所以当
时，
……………………6分

（3）设
，因为
中点在
轴上，所以

又
①

（ⅰ）当
时，
，当
时，
．故①不成立……7分

（ⅱ）当
时，
代人①得：[来源:Z.xx.k.Com]

，

无解 ………8分

（ⅲ）当
时，
代人①得：

②

设
，则
是增函数.

的值域是
．………………………………………10分

所以对于任意给定的正实数
，②恒有解，故满足条件．

（
ⅳ）由
横坐标的对称性同理可得，当
时，

，代人①得：

③

设
，令
，则
由上面知

的值域是

的值域为
.

所以对于任意