山西省山大附中2014届高三下学期第二次月考

数学理试题

考试时间：120分钟 满分：150分 考查内容：高中全部

一、选择题：(共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设
，若
，若
，则
（ ）

A．0 B．－2 C．0或－2 D．0或±2

2．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有 （　　）

A． 10种 B．20种 C． 36种 D．52种

3．已知数据
是太原市

个普通职工的2013年的年收入,设这
个数据的中位数为
，平均数为
，方差为
，如果再加上比尔．盖茨的2013年的年收入
（约900亿元），则这
个数据中，下列说法正确的是（ ）

A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变

D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变。

4．在各项都为正数的等比数列
中，首项为
，前
项和为
，则
等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知函数

则
( )

A．
B．
C．
D．

6．设复数
，若
,则复数z的虚部为( ）

A．
B．
C．
D．

7．
的三内角
所对边的长分别为
，设向量
,

．若
使
则角C的大小为 ( )

A．
B．
C．
D．

8．过抛物线
焦点作直线
交抛物线于
两点，
为坐标原点，则
为（ ） A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D．不确定

9．在
中，
，
，则
的最小值是 （ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
在
上满足
，则曲线
在点

）处切线的斜率是 （ ）

A．2 B． 1 C．3 ．D．

11． 若实数
满足
，则
的最小值为 （ ）

A．
B．2 C．
D．8

12．已知函数
，若
，

且

，则
（ ）

A．2 B．4 C．8 D．随
值变化

二． 填空题：(本大题共4小题，每小题5分)

13．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的直径为2，则该几何体的体积为 ．

14．曲线
与直线
围成的封闭图形的面积为 ．

15． 如图2，圆O：
内的正弦曲线
与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分）随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率为 ．

16．已知无穷数列
具有如下性质①
为正整数；②对于任意的正整数
,当
为偶数时,
;当
为奇数时,
．在数列
中，若当
时，
，当
时，
（
，
），则首项
可取数值的个数为 （用
表示）．

三．解答题：（共70分）

17．（本题满分12分）已知
．

（Ⅰ）求
的最大值及取得最大值时
的值；

（Ⅱ）在
中，角
，
，
的对边分别为
若
，
，
，求
的面积．

18．（本题满分12分）某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周二、周三的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：

信息技术

生物

化学

物理

数学



周一













周二













周三













 根据上表：

（Ⅰ）求数学辅导讲座在周一、周二、周三都不满座的概率；

（Ⅱ）设周二各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

19．（本题满分12分）等边三角形
的边长为3,点
、
分别是边
、
上的点,且满足
(如图1)．将△
沿
折起到△
的位置,使二面角
为直二面角,连结
(如图2)．

（Ⅰ）求证

平面
；

（Ⅱ）在线段
上是否存在点
,使直线
与平面
所成的角为
?若存在,求出
的长,若不存在,请说明理由．

20．（本题满分12分）已知椭圆

的离心率
，椭圆
的上下顶点分别为
，左、右顶点分别为
,左、右焦点分别为
,原点到直线
的距离为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）
是椭圆上异于
的任一点,直线
分别交
轴于点
,若直线
与过点
的圆
相切，切点为
．证明：线段
的长为定值,并求出该定值．

21．（本题满分12分）

设函数
定义在
上，
，导函数
．

（Ⅰ）求
的单调区间和最小值；

（Ⅱ）是否存在
，使得
对任意
成立？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程

已知曲线
(t为参数)，
(
为参数)．

（Ⅰ）化
，
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（Ⅱ）过曲线
的左顶点且倾斜角为
的直线
交曲绒
于
两点，求
．

23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
.

（Ⅰ）若
的最小值为3，求
值；

（Ⅱ）求不等式
的解集．

山大附中2014年高三月考

理科数学答案

一．选择题CABBB;DCCCA;DA

二．填空题：13．
；14．
；15．
；16．

17、解（Ⅰ）

． …… 2分

当
，即
，
时，函数
取得最大值2．…… 4分

（Ⅱ）由
，得
，

∵
，∴
，解得
． …… 6分

因为
，根据正弦定理，得
， ……8分

由余弦定理，有
，则
，

解得
，
， ……10分

故△ABC的面积
． ……12分

18．解：（1）设数学辅导讲座在周一、周二、周三都不讲为事件A,

ξ

0

1

2

3

4

5



P















故

19．证明(1)因为等边△
的边长为3,且

,

所以
,
． 在△
中,
,

由余弦定理得
． 因为
,

所以
．……………3分

折叠后有
,因为二面角
是直二面角,

所以平面

平面
,又平面

平面

,

平面
,
, 所以
平面
．………6分

(2)解法1假设在线段
上存在点
,使直线
与平面
所成的角为
．

如图,作
于点
,连结
、
，

由(1)有
平面
,而
平面
,

所以

,又
, 所以
平面
,

所以
是直线
与平面
所成的角 , ………………………8分

设

,则
,
,

在
△
中,
,所以
,

在
△
中,
,
,

由
, 得
,解得
,满足
,符合题意

所以在线段
上存在点
,使直线
与平面
所成的角为
,此时
………12分

解法2由(1)的证明,可知
,
平面
．

以
为坐标原点,以射线
、
、
分别为
轴、
轴、
轴的正半轴,建立空间直角坐标系
如图 ,设

, 则
,
,
,

所以
,
,
,所以
,

因为
平面
, 所以平面
的一个法向量为
, ………………………9分

因为直线
与平面
所成的角为
, 所以
,

, 解得
,

即
,满足
,符合题意,

所以在线段
上存在点
,使直线
与平面
所成的角为
,此时
．………12分

20、解：（1）因为椭圆C的离心率e＝，

则a＝2b，c＝b， 直线A2B2方程为 bx－ay－ab＝0，

即bx－2by－2b2＝0．

所以
＝，解得b＝1．所以 a＝2，椭圆方程为＋y2＝1． ……………6分

（2）由（1）可知A1(0，1) A2(0，－1),设P(x0，y0),

直线PA1：y－1＝x，令y＝0,得xN＝－；

直线PA2：y＋1＝x，令y＝0,得xM＝；……………………………………10分

解法一设圆G的圆心为((－)，h),

则r2＝[(－)－]2＋h2＝(＋)2＋h2． OG2＝(－)2＋h2．

OT2＝OG2－r2＝(－)2＋h2－(＋)2－h2＝．

而＋y02＝1，所以x02＝4(1－y02)，所以OT2＝4，

所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2. ………………… 12分

解法二OM·ON＝|(－)·|＝,而＋y02＝1，所以x02＝4(1－y02)，所以OM·ON＝4．

由切割线定理得OT2＝OM·ON＝4．所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2. …… 12分

21、解　(1)由题设易知f(x)＝ln x，g(x)＝ln x＋，

所以g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝1，

当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的单调减区间；

当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间．

因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.

(2)满足条件的x0不存在．证明如下：假设存在x0＞0，使|g(x)－g(x0)|＜对任意x＞0成立，

即对任意x＞0，有ln x＜g(x0)＜ln x＋，(*)

但对上述x0，取x1＝eg(x0)时，有ln x1＝g(x0)，这与(*)左边不等式矛盾，

因此，不存在x0＞0，使|g(x)－g(x0)|＜对任意x＞0成立．

另一种证法如下：假设存在x0＞0，使|g(x)－g(x0)|＜对任意的x＞0成立．

由(1)知，g(x)的最小值为g(1)＝1，

又g(x)＝ln x＋＞ln x，而x＞1时，ln x的值域为(0，＋∞)， x≥1时g(x)的值域为[1，＋∞)，

从而可取一个x1＞1，使g(x1)≥g(x0)＋1.即g(x1)－g(x0)≥1，故|g(x1)－g(x0)|≥1＞，与假设矛盾．

∴不存在x1＞0，使|g(x)－g(x0)|＜对任意x＞0成立．

22、解：⑴

曲线
为圆心是
，半径是1的圆．

曲线
为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．……4分

⑵曲线
的左顶点为
，则直线