东莞市2014届高三理科数学模拟试题(一)

命题：汪红兵 审稿与校对：梅开萍、杨波

参考公式：

·如果事件
、
互斥，那么
．

·
表示底面积，
表示底面的高，柱体体积
，，锥体体积
．

一、选择题：共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．学

1.已知全集U＝R，集合
,
,则A∩(?U B)＝(　　)

A．(0,1) B．
C．(1, 2) D． (0,2)

2. 设
、
，若
，则下列不等式中正确的是

A．
B．
C．
D．

3. 设
是等差数列,若
则数列
前8项和为（ ）

A．128 B.80 C.64 D.56

4.已知函数
则函数
的零点为

A．
和1 B．
和0 C．
D．

5.给出下列三个结论：

（1）若命题
为假命题，命题
为假命题，则命题“
”为假命题；

（2）命题“若
，则
或
”的否命题为“若
，则
或
”；

（3）命题“
”的否定是“
”.则以上结论正确的个数为

A．
B．
C．
D．

6.函数
的最小正周期是
，若其图象向右平移
个单位后得到的函数为奇函数，则函数
的图象

A．关于点
对称 B．关于直线
对称

C．关于点
对称 D．关于直线
对称

7. 已知向量
与
的夹角为
,且
,若
,且,
,则实数
的值为( ）

A．
B．
C．
D．

8. 设
，
，
为整数（m>0），若
和
被
除得的余数相同，则称
和
对模
同余，记为
．若
，
，则
的值可以是

A．2011 B．2012 C．2013 D．2014

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，二题全答的，只计算前一题得分．

9.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．

（第9题） （第10题）

10.某几何体的三视图如图，则它的体积是________．

11.
的展开式中x3的项的系数是＿＿＿＿（用数字作答）。

12. 已知集合A＝{x|x2－2x－3＞0 }，B＝{x|ax2＋bx＋c≤0}，若A∩B＝{x|3＜x≤4}，

A∪B＝R，则
的最小值为＿＿＿＿

13. 请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足
，那么
.

证明：构造函数
，因为对一切实数x，恒有
，所以
，从而得
，所以
.

根据上述证明方法，若n个正实数满足
时，你能得到的结论为 .（不必证明）

14.(坐标系与参数方程选做题)[来已知直线

（
为参数且
）与曲线

(
是参数且
)，则直线
与曲线
的交点坐标为 .

15.（几何证明选讲选做）如图(4)，AB是半圆的直径，C是AB

延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，

且E是OB的中点，则BC的长为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）已知
，
．

⑴ 求
的最小正周期；

⑵ 设
、
，
，
，求
的值．

17、（本小题满分12分）

某校高一年级60名学生参加数学竞赛，成绩全部在40分至100分之间，现将成绩分成以下6段：

，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.

（1）求成绩在区间
的频率；

（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，其中成绩在[90，100]内的学生人数为ξ，求ξ的分布列与均值.

18. （本小题满分14分）

如图所示的多面体中，
是菱形，
是矩形，
平面
，
，
．

(1) 求证：平面
平面
；

(2) 若二面角
为直二面角，求直线
与平面
所成的角
的正弦值．

19．（本小题满分14分）

如图(7)所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E

上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，

且
，|BC|＝2|AC|． (1)求椭圆E的方程；

(2) 在椭圆E上是否存点Q，使得
？

若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．

（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作
的两条

切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：
为定值．

20．（本小题满分14分）

已知函数
．

（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）求
的极值；

（3）若函数
的图象与函数
的图象在区间
上有公共点，求实数
的取值范围．

21．（本小题满分14分）

已知数列
中，
，
且

．
为数列
的前
项和，且

．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前
项的和
；

（3）证明对一切
，有
．

东莞市2014届高三理科数学模拟试题(一)

参考答案

选择题：每小题5分，共40分.

序号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

B

C

D

D

B

D

A





二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.600 10. 8－ 11. 80 12.
;

13.
14．（1，3）;　 15.
.

三. 解答题：

16. 解：⑴
……2分，
……4分，

的最小正周期
……5分

⑵因为
，
，
……6分，

所以
，
……7分，

，
，
……8分，

因为
，所以
，
……9分，

所以
……10分，

……11分，

……12分。

17. 解：（1）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间
的频率为

， …………………3分

（2）由已知和（1）的结果可知成绩在区间
内的学生有
人，

成绩在区间
内的学生有
人，…………………4 分

依题意，ξ可能取的值为0，1，2，3 …………………5 分

所以ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3



P













............................................................................10分

则均值Eξ=
...............................12分

18.（本小题满分14分）

（1）矩形
中，
--------1分

平面
，
平面
,
平面
，-2分

同理
平面
,-------3分

又
u
平面
∥平面
------4分

（2）取
的中点
.

由于
面
,
∥
,

又
是菱形，
是矩形，所以，
是全等三角形，

所以
，
就是二面角
的平面角-------8分

解法1（几何方法）：

延长
到
，使
,由已知可得，
是平行四边形，又
矩形，所以
是平行四边形，
共面，由上证可知，
　
，
,
相交于
，
平面
，
为所求.

由
,
,得

等腰直角三角形
中，
,可得

直角三角形
中,

解法2几何方法）：由
，
，
得
平面
，欲求直线
与平面
所成的角，先求
与
所成的角. ------12分

连结
，设
则在
中，
，
，用余弦定理知

---14分

解法3（向量方法）：以
为原点，
为
轴、
为
轴

建立如图的直角坐标系，由
则
，

，平面
的法向量
， -------12分

.

---14分

19．解：(1)依题意知：椭圆的长半轴长
，则A(2，0)，

设椭圆E的方程为
-----------------------2分　

由椭圆的对称性知|OC|＝|OB| 又∵
，|BC|＝2|AC|

∴AC⊥BC，|OC|＝|AC| ∴△AOC为等腰直角三角形，

∴点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(－1，－1) ，---------------------4分

将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得

∴所求的椭圆E的方程为
----------------------------------------------5分

（2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得
，设
，则

即点Q在直线
上，-----------------------------------------------------------7分

∴点Q即直线
与椭圆E的交点，

∵直线
过点
，而点椭圆
在椭圆E的内部，

∴满足条件的点Q存在，且有两个．------------------------------------------------------9分

【解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得
，设
，则

即
，--------①-------------------------------------------------7分

又∵点Q在椭圆E上，∴
，-----------------②

由①式得
代入②式并整理得：
，-----③

∵方程③的根判别式
，

∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个．---------------9分】

（3）解法一：设点
，由M、N是
的切点知，
,

∴O、M、P、N四点在同一圆上，------------------------------------------10分

且圆的直径为OP,则圆心为
，

其方程为
，------------------------------11分

即
-----④

即点M、N满足方程④，又点M、N都在
上，

∴M、N坐标也满足方程
---------------⑤

⑤-④得直线MN的方程为
，------------------------------12分

令
得
，令
得
，----------------------------------13分

∴
，又点P在椭圆E上，

∴
，即
=定值.-----------------------------------14分

【解法二：设点
则
----------10分

直线PM的方程为
化简得
--------------④

同理可得直线PN的方程为
---------------⑤-------------------11分

把P点的坐标代入④、⑤得

∴直线MN的方程为
，------------------------------------------------------12分

令
得
，令
得
，--------------------------------------------13分

∴
，又点P在椭圆E上，

∴
，即
=定值．---------------------------------------------14分】

20．解：（1）
，
且
．

又
，
．

在点
处的切线方程为：
，

即
． 　　　 ……………………… 4分

（2）
的定义域为
，
， 令
得
．

当
时，
，
是增函数；

当
时，
，
是减函数；

在
处取得极大值，即
．　　　……… 8分

（3）（i）当
，即
时，

由（Ⅱ）知
在
上是增函数，在
上是减函数，

当
时，
取得最大值，即
．

又当
时，
，

当
时，
，当
时，
，

所以，
的图像与
的图像在
上有公共点，

等价于
，解得
，又因为
，所以
．

（ii）当
，即
时，
在
上是增函数，

在
上的最大值为
，

原问题等价于
，解得
，又
无解

综上，
的取值范围是
． 　　 ……………… 14分

21．解：（1）由已知
得
，
，
，

由题意
，即
， 当n为奇数时，
；当n为偶数时，
.

所以
.　　　　　　　　　　　 …………4分

（2）解法一：由已知，对
有
，

两边同除以
，得
，即
，

于是，
=
=
，

即
，
，所以
=
，

，
，又
时也成立，故
，
.

所以
，
………8分

解法二：也可以归纳、猜想得出
，然后用数学归纳法证明．

（3）当
，有
，

所以
时，有

=

.

当
时，
. 故对一切
，有
.　　　　………14分