东莞市2014届高三文科数学模拟试题(一)

命题：陈千明 审稿与校对：彭启虎、朱广智

选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．）

1. 已知集合
，
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 已知回归直线的斜率的估计值是
，样本点的中心为
，则回归直线方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知
，
，且
，则

A．
B．
C．
或
D．

4．
、
，“
”是“
”成立的

A．充要条件 B．充分非必要条件

C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件

5．某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ）

A．48

B．56

C．64

D．72

6．定义某种运算
，运算原理如上图所示，则式子
的值为（ ）

A．4 B．8 C．11 D．13

7．已知函数
在
上有两个零点，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．过双曲线
的右顶点
作斜率为
的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为
，若
三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知
，
，
，动点
满足
且
，则点
到点
的距离大于
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．设函数
的导函数为
，对任意
都有
成立，则（　　）

A．
B.

C.
D.
与
的大小不确定

二、填空题：（本大共4小题,每小题5分,满分30分 ）

（一）必做题（11-13题）

11．在复平面内，复数
对应的点的坐标为___________．

12．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个的样本个体的编号是 …（下面摘取了随机数表第7行至第9行）

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

13．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第1层），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．

试问第
层
的点数为___________个；

如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有_____层．

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）

14（坐标系与参数方程）已知曲线
的极坐标方程分别为
，

则曲线
与
交点的极坐标为 ．

15.（几何证明选讲选做题）如图，已知
、

为⊙
的切线，
、
分别为切点，
为⊙

的直径，
，则
．

三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）

设函数
，其中向量
，
，
．

（1）求
的单调递增区间；

（2）在
中，
分别是角
的对边，已知
，
的面积为
，求
的值．

17. （本小题满分12分）

对某电子元件进行寿命追踪调查，所得情况如右

频率分布直方图.

（1）图中纵坐标
处刻度不清，根据图表

所提供的数据还原
；

（2）根据图表的数据按分层抽样，抽取
个元件，

寿命为
之间的应抽取几个；

（3）从（2）中抽出的寿命落在
之间的元件中任取
个元件，求事件“恰好有一个寿命为
，一个寿命为
”的概率.

18. （本小题满分14分）

如图，已知四棱锥
中，
平面
，底面
是直角梯形，

且
.

（1）求证：
平面
；

（2）求证：
平面
；

（3）若
是
的中点，求三棱锥
的体积.

19．（本小题满分14分）

已知数列
中，
.

（1）求证：
是等比数列，并求
的通项公式
；

（2）数列
满足
，数列
的前n项和为
，若不等式
对一切
恒成立，求
的取值范围.

20．（本小题满分14分）

（1）已知定点
、
，动点N满足

（O为坐标原点），
，

，
，求点P的

轨迹方程.

如图，已知椭圆
的上、下

顶点分别为
，点
在椭圆上，且异于点

，直线
与直线
分别交

于点
，

（ⅰ）设直线
的斜率分别为
、
，求证：
为定值；

（ⅱ）当点
运动时，以
为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．

21．（本小题满分14分）

已知函数
，
（其中
为常数）．

（1）如果函数
和
有相同的极值点，求
的值；

（2）设
，问是否存在
，使得
，若存在，请求出实数
的取值范围；若不存在，请说明理由．

（3）记函数
，若函数
有5个不同的零点，求实数
的取值范围．

东莞市2014届高三文科数学模拟试题(一)

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．

序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

C

C

A

C

D

B

C

A

C



二、填空题：（本大共4小题,每小题5分,满分30分 ）

11．
12．
13．(1)
（3分） (2)
（2分）

14.
15.
.

三、解答题（本大题共6小题，满分80分。）

16．（本小题满分12分）

解：（1）
=
=
+1

令

解得

故
的单调递增区间为

注：若没写
，扣一分

（2）由
得

而
，所以
，所以
得

又
，所以

17. （本小题满分12分）

解（1）根据题意：

解得
………………………………3分

（2）设在寿命为
之间的应抽取
个，根据分层抽样有：

………………………5分

解得：

所以应在寿命为
之间的应抽取
个………………………………7分

（3）记“恰好有一个寿命为
，一个寿命为
”为事件
，由（2）知

寿命落在
之间的元件有
个分别记
，落在
之间的元件有

个分别记为：
，从中任取
个球，有如下基本事件：

，
，

，共有
个基本事件………9分

事件
“恰好有一个寿命为
，一个寿命为
”有：

，
共有
个基本事件………10分

……………………………11分

答：事件“恰好有一个寿命为
，另一个寿命为
”的概率为

.……………12分

18. （本小题满分14分）

解:（1）
底面
是直角梯形，且
,

， ……… 1分

又
平面
………… 2分

平面
………… 3分

∴
∥平面
………… 4分

（2）

，
，

…………… 5分

则

∴
………… 6分

平面
，
平面

∴
………… 7分

又
…………8分

∴
平面
………… 9分

（3）在直角梯形
中，过
作
于点
，

则四边形
为矩形，
………… 10分

在
中可得

故
……… 11分

∵
是
中点，

∴
到面
的距离是
到面
距离的一半 ………… 12分

∴
…………14分

19. （本小题满分14分）

解：（1）由
知，
，

又
是以
为首项，
为公比的等比数列，

……………………………… 6分

（2）
，

，

两式相减得

，

…………………………………………………… 9分

…………………………………………………………10分

若n为偶数，则
……………………………………11分

若n为奇数，则
……………………13分

…………………………………………………… 14分

20. （本小题满分14分）

解：（1）连接ON∵
∴点N是MF1中点 ∴|MF2|=2|NO|=2

∵
∴F1M⊥PN ∴|PM|=|PF1|

∴|∣PF1|-|PF2∣|=||PM|-|PF2||=|MF2|=2＜|F1F2|

由双曲线的定义可知：点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.

点P的轨迹方程是
……………………………………… 4分

（2）（ⅰ）
，
，令
，则由题设可知
，

直线
的斜率
，
的斜率
，

又点
在椭圆上，所以
（
），

从而有
. …………………… 8分

（ⅱ）设点
是以
为直径的圆上任意一点，则
，又易求

得
、
.

所以
、
.

故有
.又
，化简后得到以

为直径的圆的方程为
.…………11分

令
，解得
或
.………13分

所以以
为直径的圆恒过定点
或
.…………14分

21．（本小题满分14分）

解：（1）
，则
，

令
，得
或
，而
在
处有极大值，

∴
或
；综上：
或
．……3分

（2）假设存在，即存在
，使得

，

当
时，又
，故
，则存在
，使得

， ……………………………4分

当
即
时，
得
，
；

………………………………5分

当
即
时，
得
，……6分

无解；综上：
． ………………………………7分

据题意有
有3个不同的实根，
有2个不同的实根，且这

5个实根两两不相等．

（ⅰ）
有2个不同的实根，只需满足
；

…………8分

（ⅱ）
有3个不同的实根，

当
即
时，
在
处取得极大值，而
，不符合题意，舍；

………………………………9分

当
即
时，不符合题意，舍；

当
即
时，
在
处取得极大值，
；所以

； …………………………10分

因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故
；（注：
也对）………11分

下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在
使得
和
同

时成立.

若存在
使得
，

由
，即
，得

，

当
时，
，不符合，舍去；

当
时，既有
①；

又由
，即
②； 联立①②式，可得
；

而当
时，
没有5个不

同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．

综上，当
时，函数
有5个不同的零点． …………14分