2014年上海市高三年级十三校第二次联考数学(文科)试卷

考试时间：120分钟 满分：150分

一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分．

方程
的解是
．

已知函数
，则

．

若实数
满足
，则
的最小值为 4 ．

设
（i为虚数单位），则

．

已知
则
的值为 0 ．

除以5的余数是 3 ．

（文）若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱柱的体积 为 4 ．

等差数列
的前
项和为
，则
2 ．

某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为
级需要的天数为
，

等级

等级图标

需要天数

等级

等级图标

需要天数



1



5

7



77



2



12

8



96



3



21

12



192



4



32

16



320



5



45

32



1152



6



60

48



2496



则等级为
级需要的天数
____2700______。

10.若关于
的方程
在区间
上有两个不同的实数解，则
的取值范围为

11.

（文）某高中有甲乙等5名同学被一所大学自主招生录取后,大学提供了4个学院给这5名学生选择．假设选择每个学院是等可能的，则这5人中甲乙进同一学院，且每所学院都有学生选择的概率是
．

12.给定平面上四点
满足
，则
面积的最大值为
．

13.

（文）若集合
,若集合
中的元素个数为
,则实数
的取值范围为 ．

14．

（文）对于非空实数集
，定义
。设非空实数集
。现给出以下命题：

（1）对于任意给定符合题设条件的集合
必有

（2）对于任意给定符合题设条件的集合
必有
；

（3）对于任意给定符合题设条件的集合
必有
；

（4）对于任意给定符合题设条件的集合
必存在常数
，使得对任意的
，恒有
．

以上命题正确的是 （1）（4） ．

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题5分．

15.集合
，若“
”是“
”的充分条件，则
的取值范围是（　B　）

（A）
　　　（B）
　　　（C）
　　　　　（D）

16.函数
则函数
是（ A）

（A）奇函数但不是偶函数 （B）偶函数但不是奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数 （D）既不是奇函数又不是偶函数

17.若
,且
．则下列结论正确的是( D )

（A）
　　　 （B）
　　 　（C）
　 （D）

18.

(文)若
是以
为焦点的双曲线上任意一点,过焦点作
的平分线的垂线,垂足
的轨迹是曲线
的一部分,则曲线
是( A )

（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线

三、解答题(本大题共5小题，满分74分)

19.

（文） （本题满分12分）

设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为
的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？解：如图为圆锥轴截面
，球心为
，可得

（3分）

（5分）

设取出球后，水面
高为
，则

（8分）

因为

（10分）

所以

（12分）

20.（本题满分14分，第一小题满分5分，第二小题满分9分）

对于函数
,若在定义域存在实数
,满足
,则称
为“局部奇函数”．

（1）已知二次函数
，试判断
是否为“局部奇函数”？并说明理由；

（2）设
是定义在
上的“局部奇函数”，求实数
的取值范围。

解:(1)
为“局部奇函数”等价于关于
的方程
有解．

即


（3分）

有解

为“局部奇函数”．
（5分）

(2)当
时,
可转化为

（8分）

因为
的定义域为
,所以方程
在
上有解,令
,
（9分）

则

因为
在
上递减,在
上递增,

（11分）

（12分）

即

（14分）

21.

（文）（本题满分14分，第一小题满分5分，第二小题满分9分）

已知
、
、
为正实数，
。

（1）当
、
、
为
的三边长，且
、
、
所对的角分别为
、
、
。若
，且
。求
的长。

（2）若
。试证明长为
、
、
的线段能构成三角形，而且边
的对角为
。

（1）解：由


（3分）

（5分）

（2）证：由
，可得

（6分）

所以

也就是

（9分）

因此长为
的线段能构成三角形，不妨记为
。

在
中，由余弦定理可设

（11分）

即
又
，由
的单调性可得

（14分）

所以边
的对角为
。22.（本题满分16分，第一小题满分4分，第二小题满分5分，第三小题满分7分）

已知抛物线
．

(1) 若圆心在抛物线
上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线
相切，求所有的圆都经过的定点坐标;

(2) 抛物线
的焦点为
,若过
点的直线与抛物线相交于
两点,若
,求直线
的斜率;

(3) (文)若过
点且相互垂直的两条直线
,抛物线与
交于点
与
交于点
．证明：无论如何取直线
,都有
为一常数．

解: (1) 由定义可得定点(1,0);
（4分）

(2)设
,由
,得

（5分）

由方程组
,得

得

（7分）

联立上述方程求得:
．
（9分）

(3)

（文）由
,得
,
（11分）

则
,
（12分）

同理: