2014年南侨中学、永春三中、南安三中、永春侨中、荷山中学

高中毕业班期末统一考试参考答案

参考公式：

柱体体积公式：V=Sh ，其中S为底面面积，h为高；

锥体体积公式：V=
Sh，其中S为底面面积，h为高；

球的表面积、体积公式：
，
，其中R为球的半径.一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.每小题都有四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．已知
,则
（　A　）

A．
B．
C．
D．

2．已知复数
是纯虚数，则
（　C　）

A． B．
C．
或 D．

3．函数
的零点所在的区间是（ C ）

A.（1，2） B. （3，4） C.（2，3）　　 D.（0，1）

4. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ B ）

A.8 B.10 C. 31 D. 63

5. 已知直线
平面，直线
平面
，则“
”是“
”的( A )

A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6．曲线
，
与直线
，
所围成的

平面区域的面积为 ( D )

A．
B．

C．
D．

7．己知等差数列
的首项为
，公差为
，其前项和为
，若直线
与圆
的两个交点关于直线
对称，则
=( C )

A．
B．
C．
D．

8.函数
存在与直线
平行的切线，则实数的取值范围是( D )

A.
B.
C.
D.

9. 若
且函数
在
处有极值，则
的最大值

等于 ( A )

A.9 B.6 C.3 D. 2

10. 已知抛物线
与双曲线
有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且
轴，若
为双曲线的一条渐近线，则
的倾斜角所在的区间可能是 （ B ）

A．
B.
C.
D.

二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）

11. 已知是第四象限角，且
，则
_________　

．

12. 已知实数
满足
，则
的最小值是-5 .

13. 已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于

.

14．设是半径为5的圆
上的一个定点，单位向量
在点处与

圆
相切，点是圆
上的一个动点，且点与点不重合，

则
的取值范围是
.

15.如图所示，海岸线上有相距5海里的两座灯塔、，灯塔位于灯塔的正南方向，

海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔的北偏西
方向，与相距

6海里的
处；乙船位于灯塔的北偏西
方向，与相距10海

里的处，则两艘船之间的距离为
海里.

三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

16. (本题满分13分)

已知等差数列
，公比为q(q＞1)的等比数列
，满足集合
。

（Ⅰ）求通项

（Ⅱ）求数列{
}的前n项和
.16.本题考察等差数列和等比数列的通项公式和分组求和公式∵等差数列

∴

解得

∴

……………………4分

∵等比数列
成公比大于1的等比数列且

∴
……………………5分

∴

∴
……………………8分

(2)
……………………10分

=
+
……………………12分

=
……………………13分

17. （本小题满分13分）设函数

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）若
，是否存在实数m，使函数
的值域恰为
？若存在，请求

出m的取值；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）∵

…………4分

∴函数
的最小正周期
……………… 6分

（Ⅱ）假设存在实数m符合题意，
，

∴
………… 8分

∴
………… 9分

又∵
，解得
………… 11分

∴存在实数
，使函数
的值域恰为
………… 13分

18．（本题满分13分）

如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，点E．F分别是BC．PB的中点。

（Ⅰ） 证明:
；

（Ⅱ）当AD等于何值时，二面角P-DE-A的大小为30°.

18. 本题考察线面平行和用空间向量求二面角得方法确定线段的长度.

（I）证明：在
中

∵．分别是
．
中点

∴

又∵
平面

∴
平面
………5分

（II）设
，以为原点，以
．
．

为．．轴方向建立空间直角坐标系如图所示,

则



………………7分

设平面
法向量为

取

又平面
法向量
………………10分

∵二面角
的大小为30°

∴

即：
……………12分

∴
或
（舍）

∴AD长为
………………13分

19.（本小题满分13分）已知点
，是平面上一动点，且满足
．

（Ⅰ）设点的轨迹为曲线
，求曲线
的方程；

（Ⅱ）M是曲线
上的动点，以线段
为直径作圆，证明该圆与轴相切；

（Ⅲ）已知点
在曲线
上，过点
引曲线
的两条动弦
，且
．判断：直线
是否过定点？试证明你的结论．

19. 解：（1）设
，代入
得
，

化简得
即为曲线
的方程．…………………………4分

（2）证明：设
，则由抛物线的定义知圆的直径为
，

∵圆心为线段
的中点，且
，

∴圆心坐标为
，

∴圆心到轴的距离等于半径，

∴直线与圆相切. …………………………8分

（3）将
代入
得
，点
的坐标为
．

设直线
的方程为
代入
，得
，

由
可得
，
.

同理可设直线
，代入
得
.

则直线
方程为：
，

化简得
，

即
，

∴直线
过定点
．…………………………13分

20. （本小题满分14分）

已知函数
(为自然对数的底数，
为常数）．对于函数
，若存在常数
，对于任意
，不等式
都成立，则称直线
是函数
的分界线．

（Ⅰ）若
，求
的极值；

（Ⅱ）讨论函数
的单调性；

（Ⅲ）设
，试探究函数
与函数
是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由．

20.解：（Ⅰ）若
，则
，
， ………1分

由
得

又
得
；
得
，

在
单调递增，在
单调递减；

在
处取得极大值
,无极小值． ……………………………3分

（Ⅱ）
，……………………………………………………………4分

①当
时，由
得

由
得

函数
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数：………6分

②当
时，
对
恒成立，

此时函数
是区间上的增函数；………………………………………………………7分

③当
时，由
得

由
得

函数
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数． ……………………9分

（Ⅲ）若存在，则
恒成立，

令
，则
，所以
， ……………………………………………………11分

因此：
对
恒成立，即
对
恒成立，

由
得到
， ……………………………………………………………………12分

现在只要判断
是否恒成立，

设
，则
，

①当
时，

②当
时，
…………………………………………13分

所以
，即
恒成立，

所以函数
与函数
存在“分界线”，且方程为
……14分

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

(1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知变换
是绕原点逆时针旋转
的旋转变换，对应的变换矩阵是
；变换
对应的变换矩阵是
．

（Ⅰ）求变换
对应的变换矩阵
；

（Ⅱ）求函数
的图象依次在
，
变换的作用下所得曲线的方程．

(2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知圆C的极坐标方程是
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是
（t是参数）．若直线
与圆C相切，求实数的值．

(3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知关于的不等式：
的整数解有且仅有一个值为2．

（Ⅰ）求整数的值;

（Ⅱ）在（I）的条件下，解不等式：
．

21． (1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

(I) 变换T1是绕原点逆时针旋转
的旋转变换，故它对应的矩阵