乌鲁木齐地区2014年高三年级第一次诊断性测验

理科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



选项

B

B

D

C

A

C

A

D

A

D

A

A





1.选B.【解析】∵
，
，∴
.

2.选B.【解析】∵
，∴
的实部为
.

3.选D.【解析】∵
， ∴
.

4.选C.【解析】由函数奇偶性定义得
是奇函数，
是偶函数，

∵
的定义域为
，∴
既不是奇函数，又不是偶函数.

5.选A.【解析】由图可知，
，解得
.

6.选C.【解析】该几何体的直观图，如图所示

可知，
是直角三角形，

∵
，
，
，
，
不是直角三角形.

7.选A.【解析】∵图象经过点
，

∴
，解得
，

由
及函数在区间
上是单调函数，可得
，∴

8.选D.【解析】由题意知，
，即
，解得
（舍），或
.

9.选A.【解析】执行第一次运算时：

执行第二次运算时：

执行第三次运算时：

∴输出

10.选D.【解析】设抛物线
的焦点为，准线为
，分别过点
作直线
的

垂线，垂足分别为
，由抛物线定义，得

.(
是
的中点)

11.选A.【解析】设
中点分别为
，

则

由外心
的定义知，
，因此，
，

，∴
…①

同理：
…②

∵
，∴

∴
…③

把③代入①②得
，解得
.

12.选A.【解析】易知，
为增函数，

∴若
，则有
，又
，∴
，即
成立，

∴它的逆否命题：若
，则
成立；

在
递增，在
递减，

；

在
递增，在
递减，

，
；

当
时，方程
有两解
，不妨设
；

方程
也有两解
，不妨设
；

又当
时，
，∴
，

这样当
时，就有
，或
，故，C. D.不正确.

二、填空题 :共4小题，每小题5分，共20分.

13.填
.【解析】此二项式的展开式的通项为
，

令
，
，∴常数项为
.

14.填
.【解析】根据题意得，此双曲线的渐近线方程为
，∴
，∴
.

15.填.【解析】 ∵
是公差为的等差数列，∴
，

∴
，∴

∴数列
的前9项和为
.

16.填
.【解析】如图，设
的外接球的球心

为
，∵
在球面上，

∴球心在正方体
上下底面中心连线
上，点也在球上，∴

∵棱长为，∴
，设
，

则
，在
中，有
…①，

在
中，
…②，将①代入②，得
，

∵
，∴
，∴
，于是
.

三、解答题

17.（12分）

（Ⅰ）∵
，∴
，∴
，故

由
，得
，∴
，即
； …6分

（Ⅱ）

由
，知
，故
，∴

∴
，即
…12分

18.（12分）

如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，

则有
，

（Ⅰ）
，

设平面
的法向量
，

则
，即
，取
，则
，

设
，则

∵
平面
，∴当且仅当
，即
时，
∥平面

∴
，
，∴
，

即是
的中点时，
∥平面
； …6分

（Ⅱ）
，设平面
的法向量

由
，得，
，取
，则
，

设二面角
的平面角为
，易知
，

∴
． …12分

19.（12分）

（Ⅰ）工资薪金所得的
组区间的中点值依次为
，取这些值的概率依次为
，算得与其相对应的“全月应纳税所得额”依次为
（元），按工资个税的计算公式，相应的工资个税分别为：
（元），

（元），

（元），

（元），

（元）；

∴该市居民每月在工资薪金个人所得税总收入为

（元）； …6分

（Ⅱ）这5组居民月可支配额取的值分别是

（元）；

（元）；

（元）；

（元）；

（元）；

∴的分布列为：



























∴该市居民月可支配额的数学期望为：

（元） …12分

20.（12分）

（Ⅰ）已知直线直线
经过椭圆
：
的短轴端点
和右焦点
，可得
，∴

故椭圆
的标准方程为
； …5分

（Ⅱ）由椭圆
的方程可得右焦点为
，因为直线
的斜率为
，且直线经过右焦点，所以直线
的方程为
，

设
，则点的坐标为

⑴当
时，因为点
在椭圆
上，∴
…①

∴
，依题意知

∴直线
的斜率

则直线
的方程为
…②

由①②得
…③

把直线
的方程代入椭圆
的方程得
，

即
…④

∵
是方程④的两个实数解，∴
，
…⑤

又
，

∴
…⑥

把⑤代入⑥得，
…⑦

把⑤⑦代入③得，

即
，令
，解得

此时，直线
过定点

⑵当
时，点
为椭圆
的长轴端点，故点与点重合，此时直线
即为轴，而轴过点
，则直线
也过点

综上所述，直线直线
过定点
. …12分

21.（12分）

（Ⅰ）令

则
，
，

∵

当
时，
，∴
…①

∴
，∴函数
为增函数，

∴
，即
…②

∴函数
为增函数，

∴
，即
…③

∴函数
为增函数，

∴
，即当
时，
成立； …6分

（Ⅱ）⑴当
时，∵

∴

∴函数
为增函数，

当
时，
，当
时，
，

∴当
时，函数
的零点为
，其零点个数为个

⑵当
时，∵对
，

∴函数
为奇函数，且
…④

下面讨论函数
在
时的零点个数：

由（Ⅰ）知，当
时，
，令

∴

则
，

当
时，
，∴
，∴

∴函数
为增函数

∴当
时，
；当
时，

∴函数
的减区间为
，增区间为

∴当
时，
…⑤

即对
时，
…⑥

又由（Ⅰ）知，

当
时，由③知
，∴

故，当
时，

∴
，即
…⑦

由函数
为增函数和⑥⑦及函数零点定理知，存在唯一实数

使得
，又函数
为奇函数

∴函数
，有且仅有三个零点． …12分

22.（10分）

（Ⅰ）∵

又∵
与
切于点，
是弦，∴

∴
； …5分

（Ⅱ）∵
，
，∴
∽

∴
，∴
…①

而
∽
，∴
…②

由①②得

又∵
，∴
． …10分

23.（10分）

（Ⅰ）曲线
的参数方程为
，设
，

则
，即
； …5分

（Ⅱ）设
，

则
. …10分

24.（10分）

（Ⅰ）设函数
，则
，画出其图象，可知
，

要使不等式
的解集不是空集，需且只需

∴的取值范围的集合
； …5分

（Ⅱ）∵
，∴

∵

∵
，∴
， ∴
. …10分

以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分.