试卷类型：A

2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科）

2014.3

本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟

注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．

．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知
是虚数单位，若
，则实数
的值为

A．
B．
C．
D．

2．在△
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
，若
，则
为

A．
B．
C．
D．

3．圆
关于直线
对称的圆的方程为

A．
B．

C．
D．

4．若函数
的定义域为实数集
，则实数
的取值范围为

A．
B．
C．
D．

5．某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制

成如图1的频率分布直方图．样本数据分组为
，

，
，
，
．若用分层抽

样的方法从样本中抽取分数在
范围内的数据16个，

则其中分数在
范围内的样本数据有

A．5个 B．6个 C．8个 D．10个

6．已知集合
，则集合
中的元素个数为

A．2 B．3 C．4 D．5

7．设
，
是两个非零向量，则使
成立的一个必要非充分条件是

A．
B．
C．

D．

8．设
，
，
为整数（
），若
和
被
除得的余数相同，则称
和
对模
同余，记为
．若
，
，则
的值可以是

A．2011 B．2012 C．2013 D．2014

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9．若不等式
的解集为
，则实数
的值为 ．

10．执行如图2的程序框图，若输出
，则输入

的值为 ．

11．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图3所示，则这个四棱锥的体积是 ．

12．设
为锐角，若
，则
．

13．在数列
中，已知
，
，记
为数列
的前
项和，则
．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）

在极坐标系中，直线
与曲线
相交于
，
两点，若

，则实数
的值为 ．

15．（几何证明选讲选做题）

如图4，
是圆
的切线，切点为
，直线
与圆
交于

，
两点，
的平分线分别交弦
，
于
，

两点，已知
，
，则
的值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数
的图象经过点
．

（1）求实数
的值；

（2）设
，求函数
的最小正周期与单调递增区间．

17．（本小题满分12分）

甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是
，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是
，乙，丙两人同时能被聘用的概率是
，且三人各自能否被聘用相互独立．

（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；

（2）设
表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求
的分布列与均值（数学期望）．

18．（本小题满分14分）

如图5，在棱长为
的正方体
中，点
是棱
的

中点，点
在棱
上，且满足
．

（1）求证：
；

（2）在棱
上确定一点
， 使
，
，
，
四点共面，并求

此时
的长；

（3）求平面
与平面
所成二面角的余弦值．

19．（本小题满分14分）

已知等差数列
的首项为10，公差为2，等比数列
的首项为1，公比为2，
．

（1）求数列
与
的通项公式；

（2）设第
个正方形的边长为
，求前
个正方形的面积之和
．

（注：
表示
与
的最小值．）

20．（本小题满分14分）

已知双曲线
：
的中心为原点
，左，右焦点分别为
，
，离心率为
，点
是直线
上任意一点，点
在双曲线
上，且满足
．

（1）求实数
的值；

（
2）证明：直线
与直线
的斜率之积是定值；

（3）若点
的纵坐标为
，过点
作动直线
与双曲线右支交于不同两点
，
，在线段
上取异于点
，
的点
，满足
，证明点
恒在一条定直线上．

21．（本小题满分14分）

已知函数
（其中
为自然对数的底数）．

（1）求函数
的单调区间；

（2）定义：若函数
在区间

上的取值范围为
，则称区间
为函数
的“域同区间”．试问函数
在
上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

B

A

D

B

C

D

A





二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．

题号

9

10

11

12

13

14

15



答案

2

3

4






或







三、解答题：本大题共6小题，满分80分．

16．（本小题满分1）

（本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）

解：（1）因为函数
的图象经过点
，所以
．

即
．

即
．

解得
．

（2）方法1：由（1）得
．

所以

．

所以
的最小正周期为
．

因为函数
的单调递增区间为

，

所以当

时，函数
单调递增，

即

时，函数
单调递增．

所以函数
的单调递增区间为

．

方法2：由（1）得

．

所以

分

所以函数
的最小正周期为
分

因为函数
的单调递减区间为

，

所以当

时，函数
单调递增．

即
（
）时，函数
单调递增．

所以函数
的单调递增区间为

．

17．（本小题满分1）

（本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）

解：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为
，
，
，

由已知
，
，
相互独立，且满足