哈三中2014届高三下学期第一次高考模拟

数学理试题

考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；

（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；

（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

第I卷 （选择题, 共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1. 集合
，
，
,则集合
的元素个数为

A.
B.
C.
D.

2. 若
是虚数单位，则复数
的实部与虚部之积为

A.
B.
C.
D.

3. 若
表示两个不同的平面，
表示两条不同的直线，则
的一个充分条件是

A.
B.
C.
D.

4. 若
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

5. 若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是
,则输入的

的值为

A.
B.
C.
D.

6. 若变量
满足约束条件
，则目标函数

的最小值为

A.
B.
C.
D.

7. 直线
截圆
所得劣弧所对

圆心角为

A.
B.
C.
D.

8. 如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间

几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表

面积是

A.
B.
C.
D.

9. 等比数列
中，若
，则

的值是

A.
B.
C.
D.

10. 在二项式
的展开式中只有第五项的二项式

系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为

A.
B.
C.
D.

11. 设
、
、
是双曲线

上不同的三个点，且
、
连线经

过坐标原点，若直线
、
的斜率之积为
，则该双曲线的离心率为

A.
B.
C.
D.

12. 在平面直角坐标系
中，已知
是函数
的图象上的动点，该曲线在

点
处的切线
交
轴于点
，过点
作
的垂线交
轴于点
.则

的范围是

A．
B.
C.
D.

哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试

数学试卷（理工类）

第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）

13. 已知
，由不等式
，
,

，归纳得到推广结论：

，则实数

14. 五名三中学生中午打篮球,将校服放在篮球架旁边,打完球回教室时由于时间太紧,只有

两名同学拿对自己衣服的不同情况有
种.(具体数字作答)

15. 已知
,动点
满足
,则
的最大值

为

16. 在
中，内角
所对的边长分别为
，已知角
为锐角, 且

，则实数
范围为

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分12分）

数列
满足
，等比数列
满足
.

（I）求数列
，
的通项公式；

（II）设
，求数列
的前
项和
.

18.（本小题满分12分）

某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出

前
名学生，并对这
名学生按成绩分组，第一组
，第二组
，第三组

，第四组
，第五组
，如图为频率分布直方图的一部分，其中

第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60.

（I）请在图中补全频率分布直方图；

（II）若
大学决定在成绩高的第
，

，
组中用分层抽样的方法抽

取
名学生进行面试.

若
大学本次面试中有
、
、
三位考官，规定获得两位考官的认可即面试

成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为
、
，
，求甲同学面试成功的概率；

②若
大学决定在这
名学生中随机抽取
名学生接受考官
的面试，第
组中有
名学生被考官
面试，求
的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，
，
为
的

中点.

（I）若
，求证：平面
平面
；

（II）若平面
平面
，且
，点
在线段
上，试

确定点
的位置，使二面角
大小为
,并求出
的值.

20.（本小题满分12分）

若点
是抛物线

上一点，经过点
的直线
与抛物线

交于
两点.

（I）求证：
为定值；

（II）若点
与点
不重合，问
的面积是否存在最大值?若存在，求出最大

值； 若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分12分）

设
，函数
．

（Ⅰ）当
时，求
在
内的极值；

（Ⅱ）设函数
，当
有两个极值点
，
（
）

时，总有
，求实数
的值．（其中
是函数
的导函数．）

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
是的⊙
直径，
与⊙
相切于
，
为线段
上一点，连接
、

分别交⊙
于
、
两点，连接
交
于点
.

（Ⅰ）求证：
、
、
、
四点共圆.

（Ⅱ）若
为
的三等分点且靠近
，
，
，求线段
的长.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
，（
为参数），以坐标原点为

极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为

（Ⅰ）求直线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点
是曲线
上的一个动点，求它到直线
的距离
的取值范围.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

（Ⅰ）解不等式
；

（Ⅱ）若
，且
，求证：
.

2014年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试答案

数学（理工类）

一、选择题

1.C 2.B 3.D 4.C 5.B 6.B 7.C 8.C 9.B 10.D 11.A 12.A

二、填空题

13.
14.
15.
16.

三、解答题

17.解：（I）
，所以数列
为等差数列，

则
；-----------------------------------------------3分

，所以
，

则
；-------------------------------------------------------------------6分

（II）
，

则

两式相减得
----------9分

整理得
.-----------------------------------------------12分

18.解：（Ⅰ）因为第四组的人数为
，所以总人数为：
，由直方图可知，第五组人数为
人，又
为公差，所以第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人

---------------------------------------------------------------------------------------------------4分

（Ⅱ）设事件
甲同学面试成功，则

……………..8分

（Ⅲ）由题意得，

，
,

,

分布列为

0

1

2

3