宁波市2013学年第一学期期末考试

高三数学（文科）试卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式：

柱体的体积公式
，其中表示底面积，表示柱体的高.

锥体的体积公式
，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高.

球的表面积公式
， 球的体积公式
，其中表示球的半径.

第Ⅰ卷（选择题部分 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）设全集
，集合
则集合

（A）
（B）

（C）
（D）

（2）已知是虚数单位，则复数

（A） （B）
（C） （D）

（3）“
”是“方程
表示焦点在轴上的椭圆”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（4）已知
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是

（A）若
则
（B）若
则

（C）若
，则
（D）若
，则

（5）关于函数
，下列结论中不正确的是

（A）
在区间
上单调递增 （B）
的一个对称中心为

（C）
的最小正周期为 （D）当
时,
的值域为

（6）已知向量
，
满足
，则向量
与
的夹角为

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示，则该

几何体的体积为

（A）9
（B）10

（C）11
（D）

（8） 实数
满足
，如果目标函数

的最小值为
,则实数的值为

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

（9）双曲线
的左、右焦点分别为
，渐近线分别为
，

点在第一象限内且在
上，若
//
，则双曲线的离心率是

（A）
（B）2 （C）
（D）

（10）已知
表示大于的最小整数，例如
．下列命题:

①函数
的值域是
；

②若
是等差数列，则
也是等差数列；

③若
是等比数列，则
也是等比数列；

④若
，则方程
有
个根.

其中正确的是

（A）②④ （B）③④ （C）①③ （D）①④

第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分)

二、填空题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．

（11）某市连续一周对本地区楼盘商品房每日成交数据进行统计，

得到如图所示的茎叶图，则中位数为 ▲ ．

（12）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 ▲ ．

（13）直线
与圆
相交于、

两点，且
，则
▲ ．

（14）已知函数
是偶函数，且
则
▲ ．

（15）菲特台风重创宁波，志愿者纷纷前往灾区救援．现从

四男三女共7名志愿者中任选2名（每名志愿者被选中

的机会相等），则2名都是女志愿者的概率为 ▲ ．

（16）已知
且满足
，

则
的最小值为 ▲ ．

（17）若函数
满足：存在
，对定义域内

的任意
恒成立，则称

为函数. 现给出下列函数：

①
； ②
；③
；④
.

其中为函数的序号是 ▲ ．（把你认为正确的序号都填上）

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（18）（本小题满分14分）已知向量
，且
，其中
分别为
的三边
所对的角.

（Ⅰ）求角
的大小；（Ⅱ）若
，且
，求.

（19）（本小题满分14分）设
是等差数列，
是各项都为正数的等比数列，且
，
，
．（Ⅰ）求数列
,
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
的前项和为
,记
,
. 求数列
的前项和
．

（20）（本小题满分14分）如图，在四棱锥
中,为
上一点，

平面
，
,
,
，

为
上一点，且
．

(Ⅰ) 求证:
；

（Ⅱ）若
，

求二面角
的大小．

（21）（本小题满分15分），已知
，函数
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；(Ⅱ)若对于任意的
，
，

不等式
恒成立，求实数的取值范围．

（22）（本小题满分15分）如图，抛物线
的顶点为
，焦点在轴上，抛物线上

的点
到焦点的距离为2.

(Ⅰ)求抛物线
的标准方程；

(Ⅱ)过直线
上的动点（除
）作抛物线
的两条切线，切抛物

线于、两点.

（i）求证：直线
过定点
，并求出点
的坐标；

(ii) 若直线
分别交直线
于
、

两点，求
的面积
的取值范围．

宁波市2013学年第一学期期末试卷

高三数学（文科）参考答案及评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分．

（1） B （2） A （3） C （4） D （5） D

（6） A （7） C （8） D （9） B （10） D

二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分．

（11） 54 （12） （13）
（14）

（15）
（16）18 （17）④

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（18）（本小题满分14分）

解:（Ⅰ）
,

……2分

又

,
……5分

又
……7分

（Ⅱ）
，由正弦定理得
, (1) ……8分

,得
, (2) ……9分

由余弦定理
,得
(3) ……10分

由(1)(2)(3)可得
……14分

（19）（本小题满分14分）

（Ⅰ）由题意，
，

代入得
，消
得
， ……4分

，
是各项都为正数的等比数列，
，

进而
，
　　　 ……7分

（Ⅱ）
， 　　　　　　　　　　　　 ……9分

， 　　　　　　　　 ……10分

设
，

，

相减，可得
， ……12分

　　　　……14分

（20）（本题满分14分）

(Ⅰ) 证明：连接AC交BE于点M，连接
.

由
，

，

……4分

……6分

(Ⅱ)连
,在平面
内过作
于
.

由于
,故
.

过
作
于
,连
.则
,

即
为二面角
的平面角. ……10分

,
,

,即二面角
的大小为
. ……14分

（21）（本题满分15分）

解：（I）
， ……2分

当

，
；

当

；

当

，减区间为
． ……6分

(Ⅱ)对于任意的
，不等式
恒成立，

等价于
……8分

由（I）可得，
在
上单调递减，在
上单调递增，

，

……10分

则问题转化为对于任意的
，
恒成立，

即对于任意的
，
恒成立．

构造
，只需
，

解得
……15分

（采用其它方法，酌情给分．）

（22）（I）由已知条件得，
，
，

抛物线的标准方程为
……4分

（II）(i)设
，
，A处切线方程为

，又
，
，(1)

同理B处切线方程为：
， (2)

(1)(2)联立可得
，即
. ……6分

直线AB的斜率显然存在，设直线AB：
，

，可得
，
，即
，

在直线
上，
，

即AB直线为
直线AB过定点

……8分

(ii)
不会与
重合.

定点

到直线
的距离
……9分

由
,同理得
,

……11分

……14分

……15分

（另参考）

（II）设
，
，A处切线方程为

，又
，