2013学年第一学期高三期末测试

理科数学 参考答案

一.选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）

1．A； 2．D； 3．B； 4．D； 5．C；

6．D； 7．A； 8．C； 9． B； 10．C．

二．填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分，请将答案写在答题卷上）

11．
或
； 12．
； 13．4； 14．4；

15．
； 16．
； 17．
．

三、解答题：（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18．（本题满分14分）

已知数列
中，
，
．

（Ⅰ）若设
，求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求
．

解：（I）
，所以
，
，

所以
；

（II）
，

所以

=
．

19．（本题14分）

甲、乙两个盒子中共放有5个红球和3个白球，每盒4个．假设每一个球被摸到的可能性是相等的．现从乙盒中任意摸出2个球，已知摸出的两个都是红球的概率为
．

（Ⅰ）求乙盒中红球的个数；

（Ⅱ）若从甲盒中摸出2个球，乙盒中摸出1个球，设摸到的3个球中红球的个数为
，求
的分布列和数学期望．

解：（I）设乙盒中红球有
个，
，得
，所以
，

所以乙盒中有3个红球.

（II）①当
时，甲盒中取到2个白球，乙盒中取到1个白球，

对应的概率为
＝
;

②当
时，甲盒中取到2个白球，乙盒中取到1个红球，或甲盒中取到1红1白，乙盒中取到1个白球，

对应的概率为
＝
；

③当
时，甲盒中取到1红1白，乙盒中取到1个红球，或甲盒中取到2红，乙盒中取到1个白球，

对应的概率为

；

④当
时，甲盒中取到2红，乙盒中取到1个红球，

对应的概率为

；

所以
的分布列为：

0

1

2

3















所以
．

20．（本题14分）

如图，长方体
中，
，是
上一点，是
的中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）当
时，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦．

解：（I）连接
交
于，则为
的中点，

连接
，则
为△
的中位线，所以
，

平面
,
平面
,

所以
平面
；

（II）解法1：

连接
，在
上取
，使

，又
，所以
平面
，

作
于
，连接
，所以
就是平面
与平面
所成锐二面角，

在
△
中，
，
，

所以
，

在
△
中，
,

所以
，

所以
，

所以
，

即平面
与平面
所成锐二面角的余弦为
．

解法2：

以为坐标原点，分别以
为
轴，建立坐标系。

由
，
，得
，

设平面
的一个法向量为
，

由
,
，
，

得
，

设平面
的一个法向量为
，

由
,
,
，

得
，

记平面
与平面
所成锐二面角为，
，

所以平面
与平面
所成锐二面角的余弦为
．

21．（本题15分）

已知抛物线
的焦点为，是抛物线上异于原点的任一点，直线
与抛物线的另一交点为
．设l是过点的抛物线的切线，l与直线
和轴的交点分别为A、B，

（I）求证：
；

（II）过B作
于，若
，求
．

解：（I）设
，则过的切线方程为：
，

得的坐标
，又
，

所以
，
，

所以
，

所以
；

（II）分别过、作直线
的垂线，垂足为、，

因为
，所以
，

因为
，所以
，

设直线
的方程为
，代入
得
，

所以
，所以
，所以
，

，
，所以
，

由
得
，得
，得
，

所以
．

22．（本题15分）

已知
N*，函数
，
．

（I）求证：
在
上是减函数；

（II）若对任意
，存在
，使得
，求满足条件的构成的集合
．

解：（I）
，

因为
时，
，所以
，

所以
，所以
在
上是减函数．

（II）①当
时，因为
，所以
，

因为
，所以
，

所以对任意
，不存在
，使得
；

②当
时，
在
递减，
在
递减，

因为对任意
，存在
，使得
，

所以
对任意
恒成立，

反之，若
对任意
恒成立，一定存在
，使
，

所以原命题等价于“
在
恒成立”，

由
对

恒成立，

得
对

恒成立，

令
，

，

令
，
，

所以
在
递减，

所以存在
，使
①，

所以
在
递增，在
递减，

所以

②，

由①得
代入②得

，

又
N*，所以
；

所以
，且
N*，所以构成的集合
．

命题：张晓东、陆恬

审稿：吴明华、张启源、钱卫红、吴林华

2013年12月