二〇一一级高三上学期模块考试

理科数学参考答案及评分标准 2014.1

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

DBBCD BAAAC DC

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13.
； 14.4； 15.5； 16.
.

三、解答题：本大题共6小题，共74分.

17．解：(Ⅰ)因为角终边经过点
,

所以
.……3分

.……6分

(Ⅱ)
，

,……9分

.

.

故函数
…12分

18．解：(Ⅰ)


. ………………………………4分


. ………………………………6分

（Ⅱ)依题意，作圆锥的高
,∴
是母线与底面所成的角. ……………7分

设圆锥的高为h，∵
，
，∴
∴
，∴
.…10分

.

答：所制作的圆锥容器体积约为

.……………………………12分

19．解：(Ⅰ)由已知可得
，所以
，即
，

∴数列
是公差为1的等差数列．…………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得
，∴
．……………7分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，
，

所以
，

，

相减得

，

∴
．………………12分

20．解：（Ⅰ）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，

又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF． …………3分

（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，2）、B（2，0，0）、C（0，
.…………4分

平面CDF的法向量为
设平面EDF的

法向量为
，

则
，

即
，…………6分

，所以二面角E—DF—C的余弦值为
.…8分

（Ⅲ）设
，

又
，

. …………10分

把
，

所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE. 此时，
. …………12分

21．解：函数的定义域为
，

．………………………………………1分

(Ⅰ)当
时，函数
，
，
．

所以曲线
在点
处的切线方程为
，

即
．………………………………………………………3分

(Ⅱ)函数
的定义域为
．

(1)当
时，
在
上恒成立，则
在
上恒成立，此时
在
上单调递减．……………4分

(2)当
时，
，

(ⅰ)若
，

由
，即
，得
或

；………………5分

由
，即
，得

．………………………6分

所以函数
的单调递增区间为
和
，

单调递减区间为

．………………………………7分

(ⅱ)若
，
在
上恒成立，则
在
上恒成立，此时
在
上单调递增．………………………8分

(Ⅲ)因为存在一个
使得
，

则
，等价于
．………………………………9分

令
，等价于“当
时，
”．

对
求导，得

．……………………………………10分

因为当
时，
，

所以
在
上单调递增．……………12分

所以
，因此
．

所以的取值范围是
.…………………………………………13分

22．解：（1） 设椭圆方程为
=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1.………1分

由PQ|=3，可得
=3，……………………………………………2分

解得a=2，b=
，…………………………………………………３分

故椭圆方程为
=1.……………………………………………4分

（2） 设M
，N
,不妨
>0,
<0,设△
MN的内切圆的径R，

则△
MN的周长=4a=8，
（MN+
M+
N）R=4R,

因此
最大，R就最大，………………………………………6分

.

由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，

由
，得
+6my-9=0，………………………８分

得
，
，

则
AB（
）=
=
，……………9分

令t=
,则t≥1,

则
,………………………10分

令f（t）=3t+
，则f′(t) =3-
，

当t≥1时，f′(t)≥0,f (t)在［1,+∞)上单调递增，

有f(t)≥f(1)=4,
≤
=3,

即当t=1,m=0时，
≤
=3,
=4R，∴
=
，

这时所求内切圆面积的最大值为
.

故直线l:x=1，△AMN内切圆面积的最大值为
.………………13分