2014年安庆市六校第三次联考

数 学 试 题（理）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题（本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 复数
化简的结果为

A.
B.
C.
D.

2．已知向量
，
，若
与
垂直，则

A．
B．
C．2 D．4

3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．

2

B．

1

C．



D．





4．设
是两条直线，
是两个平面，则
的一个充分条件是

A．
B．

C．
D．

5．函数
的图象恒过定点A，且点A在直线

上，则
的最小值为

A．

14

B．

12

C．

10

D．

8



6．若
是等差数列
的前n项和，且
,则
的值为

A．

12

B．

18

C．

22

D．

44



7．已知斜率为
的直线
交椭圆
于
两点，若点
是
的中点，则
的离心率等于

A.



B.





C.



D.



8．已知点P是抛物线
上一点，设P到此抛物线准线的距离是
，到直线
的距离是
，则
的最小值是

（　 　）

A．



B．

2

C．

6

D．

3



9．某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有

A．

144种

B．

150种

C．

196种

D．

256种



10．函数
的定义域是,
对任意的

，则不等式
的解集是 （ ）

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）

11．点
在不等式组
表示的平面区域上运动，则
的最大值为___________.

12．
的展开式中的常数项为　　 ．

13
　 ．

14.已知函数
若函数
有三个零点，则实数的取值范围是 ．

15.定义域是一切实数的函数
，其图象是连续不断的,且存在常数
使得
对任意实数都成立,则称
是一个“
的相关函数”.有下列关于“
的相关函数”的结论:①
是常数函数中唯一一个“
的相关函数”；②
是一个“
的相关函数”；③ “
的相关函数”至少有一个零点.其中正确结论的是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16.（本题满分12分）

已知
分别是
的三个内角
的对边，
.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求函数
的值域.

17.（本题满分12分）

如图，在三棱柱
中，侧棱
底面
,

为
的中点,
.

(1) 求证：
平面
；

(2) 若
，求三棱锥

的体积.

18. (本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）当
时，若
在区间
上的最小值为
，求的取值范围.

19.（本小题满分13分）

已知正项数列
的前项和为
，
是
与
的等比中项.

（Ⅰ）求证：数列
是等差数列；

（Ⅱ）若
，且
，求数列
的通项公式；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若
，求数列
的前项和
.

20．（本小题满分13分）

某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会．已知某人前三关每关通过的概率都是
，后两关每关通过的概率都是
．

（1）求该人获得奖金的概率；

（2）设该人通过的关数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

21．（本小题满分13分）

已知命题“若点
是圆
上一点，则过点
的圆的切线方程为
”．

（Ⅰ）根据上述命题类比：“若点
是椭圆
上一点，则过点
的切线方程为 ．”（写出直线的方程，不必证明）．

（Ⅱ）已知椭圆
：
的左焦点为
，且经过点（1，
）．

（ⅰ）求椭圆
的方程；

（ⅱ）过
的直线
交椭圆
于、两点，过点、分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．

2014年安庆市六校第三次联考参考答案

数 学 试 题（理）

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

C

C

C

B

C

D

C

B

A



二、填空题：

11. 2 12. -5

13.
14.

15.③

三、解答题：

16.

…………………………………………………………………………………………………6分

（II）
……………………………………………8分

…………………………………………………………………………………………………10分

所以所求函数值域为
……………………………………………………………………12分

17、证明:（1）连接
,设
与
相交于点
,连接
. …………1分

∵ 四边形
是平行四边形,∴点
为
的中点.

∵为
的中点，∴
为△
的中位线,

∴
. …………4分

∵
平面
,
平面
,

∴
平面
. ………… 6分

解:（2）∵三棱柱
，∴侧棱
，

又∵
底面
，∴侧棱
，

故
为三棱锥
的高，
， …………8分

…………10分

…………12分

18.

………………………………………………………………………………………………6分

………………………………………………………………………………………………12分

19、解：（Ⅰ）
即
…………1分

当
时，
，∴
…………2分

当
时，

∴

即
…………3分

∵
∴

∴数列
是等差数列 …………4分

（Ⅱ）由
得
…………6分

∴数列
是以2为公比的等比数列

∴
…………8分

∴
…………9分

（Ⅲ）
…………10分

∴
①

两边同乘以
得
②

①-②得

…………13分

20. 解：（1）设An（n=1，2，3，4，5）表示该人通过第n关，则An（n=1，2，3，4，5）相互独立，且P（An）=
（n=1，2，3），P（A4）=P（A5）=

∴该人获得奖金的概率为P=P（A1A2A3A4A5）+P（
）+P（
）

=
+2×
=
；

………………………………………………………………………………………………6分

（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，则

P（ξ=0）=
；

P（ξ=1）=
=
；

P（ξ=2）=
=
；

P（ξ=3）=
=
；

P（ξ=4）=
=
；P（ξ=5）=
，

ξ的分布列为

ξ

 0

 1

 2

 3

 4

 5



 P















∴Eξ=1×
+2×
+3×
+4×
+5×
=
．

………………………………………………………………………………………………13分

21.解：（Ⅰ）
；……………………………………………………………3分

（Ⅱ）（ⅰ）
；…………………………………………………………………7分

（ⅱ）当直线
的斜率存在时，设为
，直线
的方程为
，

设A
，B
，

则椭圆在点处的切线方程为：
①

椭圆在点的切线方程为：
②

联解方程① ②得：
，

即此时交点的轨迹方程：
． ……………………………… 11分

当直线
的斜率不存在时，直线
的方程为
，

此时

，经过
两点的切线交点为

综上所述，切线的交点的轨迹方程为：
． …………………………… 13分