安庆一中、安师大附中高三2014年1月联考

数学（理）试卷

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合
，集合
，则

A.
B.
C.
D.

2．对于事件A，P（A）表示事件A发生的概率。则下列命题正确的是

A 如果
，那么事件A、B互斥

B 如果
，那么事件A、B对立

C
是事件A、B对立的充要条件

D 事件A、B互斥是
的充分不必要条件

3．把函数
的图象向左平移m个单位, 所得图象关于y轴对称, 则m的最小值为

A.
B.
C.
D.

4．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的

三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．9 B．10

C．11 D．

5．对于平面和共面的两直线、，下列命题中是真命题的为

A．若
，
，则

B．若
，
，则

C．若
，
，则
　

D．若、与所成的角相等，则

6．等比数列
中
，公比
，记
（即
表示

数列
的前项之积），
，
，
，
中值为正数的个数是

A．1 B． C．
D．

7．设x、y均是实数，i是虚数单位，复数
的实部大于0，虚部不小于0，则复数
在复平面上的点集用阴影表示为下图中的

８．设集合
，在
上定义运算
：
，其中
为
被3除的余数，
，则使关系式
成立的有序数对
总共有

A．１对　　　　B．２对　　　　C．３对　　　　D．４对

9．已知A，B，C，D，E为抛物线
上不同的五点，抛物线焦点为F，满足
，则

A 5 B 10 C
D

10．一支人数是5的倍数且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人．则这只游行队伍的最少人数是

A 1025 B 1035 C 1045 D 1055

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

11. 输入正整数（
）和数据
，
，…，
，

如果执行如图2的程序框图，输出的是数据
，
，…，
的平均数，则框图的处理框★中应填写的是___________;

12. 已知函数
为偶函数,其图象与直线y=1的交点的横坐标为
.若
的最小值为,则
的值为___________;

13．设
，则二项式
的展开式中常数项___________;

14．函数
，若
互不相同，且
，则
的取值范围是___________;

15．有以下四个命题

①
的最小值是

②已知
, 则

③
在R上是增函数

④函数
的图象的一个对称中心是

其中真命题的序号是___________ (把你认为正确命题的序号都填上)

三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.

16．（本题满分12分）

（1）证明：

（2）三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a，b，C成等差数列，求证
。

17．（本小题12分）某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训，以促进教师的专业发展，每位教师可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．现知全市教师中，选择心理学培训的教师有60%，选择计算机培训的教师有75%，每位教师对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．

(1)任选1名教师，求该教师选择只参加一项培训的概率；

(2)任选3名教师，记
为3人中选择不参加培训的人数，求
的分布列和期望．

18．（本小题12分）如图所示，已知
为圆
的直径，点为线段
上一点，

且
，点
为圆
上一点，且
．

点在圆
所在平面上的正投影为点，
．

（1）求证：
；

（2）求二面角
的余弦值．

19．（本小题13分）已知函数
，

（1）当
时，求
的最小值；

（2）当
时，
恒成立，求的取值范围。

20．（本小题13分）数列
的各项均为正值，
，对任意n∈N*，

都成立．（1）求数列
，
的通项公式；（2）当k＞7且k∈N*时，证明：对任意n∈N*都有
成立．

21（本小题13分）过椭圆C：
外一点A（m，0）作一直线l交椭圆于P、Q两点，又Q关于x轴对称点为
，连结
交x轴于点B。

若
，求证：
；（2）求证：点B为一定点
。

安庆一中、安师大附中高三2014年1月联考

数学（理）答案

答案：1。B 2。D 3。B 4 C 5 C 6 B 7 A 8 C 9 B 10 C

11．

12．

13.

14．（32，35），

15．③ ④

16．解：（1）

（2）由正弦定理得
，又由（1）可知

由余弦定理得：

所以
。 ………12分

17．（本小题满分12分）

解：任选1名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件，“该教师选择计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且
，
． ………1分

（1）任选1名，该教师只选择参加一项培训的概率是

． …………4分

（2）任选1名教师，该人选择不参加培训的概率是

． …………5分

因为每个人的选择是相互独立的，

所以3人中选择不参加培训的人数
服从二项分布
， …………6分

且
，
， …………8分

即
的分布列是

0

1

2

3





0.729

0. 243

0.027

0.001



……10分

所以，
的期望是
． ………12分

（或
的期望是
．）

18．解析：（Ⅰ）法1：连接
，由
知，点为
的中点，

又∵
为圆
的直径，∴
，

由
知，
，

∴
为等边三角形，从而
．-----------------3分

∵点在圆
所在平面上的正投影为点，

∴
平面
，又
平面
，

∴
，-----------------5分

由
得，
平面
，

又
平面
，∴
． -----------------6分

（注：证明
平面
时，也可以由平面
平面
得到，酌情给分．）

法2：∵
为圆
的直径，∴
，

在
中设
，由
，
得，
，
，
，

∴
，则
，

∴
，即
． -----------------3分

∵点在圆
所在平面上的正投影为点，

∴
平面
，又
平面
，

∴
， ---------5分

由
得，
平面
，

又
平面
，∴
． -----------------6分

法3：∵
为圆
的直径，∴
，

在
中由
得，
，

设
，由
得，
，
，

由余弦定理得，
，

∴
，即
． -----------------3分

∵点在圆
所在平面上的正投影为点，

∴
平面
，又
平面
，

∴
， -----------------5分

由
得，
平面
，

又
平面
，∴
． -----------------6分

（Ⅱ）法1：（综合法）过点作
，垂足为，连接
． -----------7分

由（1）知
平面
，又
平面
，

∴
，又
，

∴
平面
，又
平面
，

∴
，-----------------9分

∴
为二面角
的平面角． -----------------10分

由（Ⅰ）可知
，
，

（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分．）

∴
，则
，

∴在
中，
，

∴
，即二面角
的余弦值为
． ---------------12分

法2：（坐标法）以为原点，
、
和
的方向分别为轴、轴和轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系． -----------------8分

（注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明
，酌情给分．）

设
，由
，
得，
，
，

∴
，
，
，
，

∴
，
，
，

由
平面
，知平面
的一个法向量为
．

设平面
的一个法向量为
，则

，即
，令