2014安徽省省级示范高中名校高三联考

数学（理科）试题参考答案

（1）A 解析：
，由题意得
解得
　

（2）C 解析：由线面、面面间的位置关系可知选C.

（3）B 解析：由图知PM2.5值小于或等于75微克／立方米的频率为

,所以100天中空气质量达标的天数是
.

（4）D 解析：

循环结束，输出结果为
.

（5）A 解析：是第一象限角
反之不一定成立，故选A.

（6）D 解析：画出可行域可知，当抛物线
过点
时，
.

（7）D 解析：由
得
，故圆
交点坐标为

（8）B 解析：选项A、C中
位于递增区间内，
，选项B、D中
位于递减区间内，
结合图像可知选B.

（9）C 解析：因为曲线
,相当于将函数
的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即曲线
的图像关于点
成中心对称，所以
是线段
的中点，故
.

（10）C 解析：在正方体一个面的四个顶点中任取三个点，在与这个面平行的面中只有一个顶点与刚才的三个顶点能构成符合条件的三棱锥（如图中三棱锥
），所以这一对平行平面的顶点共构成
个符合条件的三棱锥，正方体中共有三对平行平面，所以可构成符合条件的三棱锥
个.另外正四面体
和正四面体
也符合条件，故符合条件的三棱锥共有
个.

（11）
解析：
，令
，得
，

所以
的系数为

（12）
解析：画出简图,由三角形中位线定理可知
，根据双曲线的定义可得
，所以离心率
.

（13）
解析：由已知及正、余弦定理可得

，化简得
，将
代入得
，所以
.

（14）
解析：第个文件刚下载完时，第
个文件刚好下完
（速度始终是前面的
，又是同时下载的），此时它上升为第一位，因此剩下的
还需耗时2分钟，所以

（15）①②③⑤ 解析：①由题意设
,解得当
或
或
时,满足条件；

②
在
上单调递减，取区间
，由题意设
，所以只需
即可，满足条件；

③
在
上单调递增，取区间
，由题意设
，解得当
或
或
时，满足条件；

④由题意设
，即
是方程
的两个根，由于两函数
没有交点，故对应方程无解，所以不满足条件；

⑤
在
上单调递增，取区间
，由题意设
，即
是方程
的两个根，由于两函数
有两个交点，故对应方程有两个根，即存在
满足条件.

所以存在“和谐区间”的是①②③⑤.

（16）解析：（Ⅰ）由题意得函数
,其最小正周期为，

所以
，
.……………………………………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
，

令
得
，所以
或
.

解得
或
.…………………………………………………9分

因为
，所以零点有
.

所以
在区间
上的所有零点之和为
.……………………………………12分

（17）解析：（Ⅰ）函数
定义域为
，
，………2分

由
解得
,由
解得
且
，

故函数
的单调递增区间是
，单调递减区间是
.…………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
恒成立，即
，…………………8分

令
，则
，

因此
在
上单调递增，于是
，

故实数的取值范围是
.…………………………………………………………12分

（18）解析：（Ⅰ）∵
∴
平面
∴

又
∴
平面
.…………………4分

（Ⅱ）以为原点,
分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系
则

∴
.

设
是平面
的一个法向量，则
，即

令
则
∴
.

又
是平面
的一个法向量，

∴
即
解得

∴存在
使得平面
与平面
所成的锐角的大小是
…………………12分

（19）解析：（Ⅰ）由已知可设
则
∴

，
∴
. ………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
∴
.…7分

令
则

两式相减得
∴

∴
…………………………………………13分

（20）解析：（Ⅰ）由题意得
解得
.

椭圆
的方程是
.………………………………………………………4分

（Ⅱ）假设存在等腰直角三角形
，由题知直角边
，
不可能平行或垂直轴.故设
所在直线的方程是
（
），则
所在直线的方程是
，

由
，得
，

.

用
替换上式中的
再取绝对值,得
，

由
得
，解得
或
.

故存在三个内接等腰直角三角形
.直角边所在直线的方程是
、
或
、
或
、
.

……………………………………………………………………………………13分

（21）解析：（Ⅰ）由题意可知第二场比赛后
为优胜者的情况为

故其概率为
……………………………………2分

由题意可知第三场比赛后
不可能为优胜者，故其概率为0；…………………4分

由题意可知第四场比赛后
为优胜者的情况为

故其概率为
………6分

（Ⅱ）第一场与
的比赛结果分两种情况：

①与
的比赛中
胜出，
如果要成为优胜者，接下来的比赛按如下进行：

对
以上比赛进行的概率为：
此时
在第
场比赛后成为优胜者；………………………………………………9分

②与
的比赛中胜出，
如果要成为优胜者，接下来的比赛按如下进行：

对
以上比赛进行的概率为：

此时
在第
场比赛后成为优胜者.………………………………………………12分

综上所述，
在第
场或者第
场比赛后能成为优胜者，在第
场比赛后不能成为优胜者，所以
……………13分