安庆一中、安师大附中高三2014年1月联考

数学（文）试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、已知全集U＝R，集合A＝{x|1＜x≤3}，B＝{x|x＞2}，则
等于( )

A．{x|1＜x≤2} B．{x|1≤x＜2} C．{x|1≤x≤2} D．{x|1≤x≤3}

2、已知复数
且
，则复数等于( )

A. B. C.
D.

3、如图给出的是计算
的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )

A．
B．

C．
D．

4、已知定义在R上的函数
，则命题p:“
”是命题q:“
不是偶函数”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5、已知命题:
，使得
，则命题
是( )

A.
，使得
B.
，都有

C.
，都有
或
D.
，都有
或

6、一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A．9 B．10 C．11 D．

7、将函数
的图象向左平移
个单位，若所得的图象与原图象重合，则的值不可能等于( )

A．4 B．6 C．8 D．12

8、已知A(3,0),B(0,4),若圆M:
上有且仅有两点C使
面积等于
,则实数的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

9、已知实数、满足条件：
，则
的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

10、已知点P在以为圆心、半径为1的扇形区域AOB（含边界）内移动，
,E、F分别是OA、OB的中点，若
其中
,则
的最大值是( )

A. 4 B. 2 C.
D. 8

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分。

11、角
终边上一点M（，
），且
，则
= __ ；

12、若抛物线
的焦点坐标为(0, 1)，则= __ ；

13、已知函数
的零点在区间
上，
，则
__ ；

14、在
中，
，
是
内一点，且满足
，则
= __ ；

15、给出下列四个命题：

① 函数
的图象关于点
对称；

② 若
，则
；

③ 存在唯一的实数，使
；

④ 已知为双曲线
上一点，
、
分别为双曲线的左右焦点，且
，则
或。

其中正确命题的序号是 __ ；

三、解答题： 本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16、（本小题12分）已知函数
为偶函数，且函数
图象的两相邻对称轴间的距离为

（1）求函数
的解析式；

（2）已知△ABC中角 A、B、C所对的边分别是
，且
，
，求
的值.

17、（本小题12分）在某高校自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.

(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；

(2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

(3)已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率.

18、（本小题12分）已知
为数列{
}的前项和,且2
,
N

（1）求数列{
}的通项公式;

（2）若数列
满足
，
,求
的前项和

19、（本小题12分）如图，在四棱锥
中，

底面
，
,
,
,

,是
的中点。

（1）求证：
;

（2）在线段
上是否存在点，使
?若存在，指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由。

20、（本小题13分）已知椭圆C:

的离心率为
，且椭圆C上的点到点
的距离的最大值为3.

（1）求椭圆C的方程。

（2）已知过点T（0，2）的直线
与椭圆C交于A、B两点，若在x轴上存在一点，使
，求直线
的斜率
的取值范围.

21、（本小题14分）已知函数
在点
处的切线与直线
垂直，

（1）求实数的值和函数
的单调区间；

（2）若
，
，数列
：
，求实数的取值范围，使对任意
，不等式
恒成立

安庆一中、安师大附中高三2014年1月联考

数学（文）答案

一、选择题：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



A

C

B

A

D

C

B

D

C

A





二、填空题：

11、
12、
13、9 14、-4 15、②③

三、解答题：

16、（本小题12分）

解：（1）由已知函数
周期为

····························2分

又当
时
，
····························5分

所以
····································6分

（2）
，

又由于
，
···························8分

·········10分

········································12分

17、（本小题12分）

解: (1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，

所以该考场有
人···············································2分

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为
， ······················4分

（2）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

···························7分

（3）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，

所以还有2人只有一个科目得分为A，

设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为

{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}
,有6个基本事件

设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则
. 12分

18、（本小题12分）

解: (1)

············1分

···4分

···········6分

（2）
·············································7分

，

····························9分

，又
符合该式

所以
················································10分

·································12分

19、（本小题12分）

解：（1）
底面

AB，
CD又
所以
面PAD 即
PD·····2分

又
所以
面PAC 即
AE

,是
的中点。

PC
面PCD 即
PD·········5分

·····························6分

(2) 在底面
中过点C作
交AD与点M,在三角形PAD中过点M作
交PD于点F，连接CF

··································9分

此时在底面ABCD中，
,故DM

·························································11分

所以在线段
上存在点满足
，使
··················12分

20、（本小题13分）

解：（1）

，设椭圆的方程为
，设
为椭圆C上任意一点，

··························2分

由于
，当
时，此时
取得最大值
，

当
时，此时
取得最大值
，不符合题意。···················5分

故所求椭圆方程为
··········································6分

（2）由已知，以AB为直径的圆与X轴有公共点，·························7分

设
，AB中点

直线
：
代入
得
，

，····························8分

·····································10分

解得：
，即
········12分

所以，所求直线
的斜率
的取值范围是
·············13分

21、（本小题14分）

解：（1）由已知
，
，
··················2分

由
解得
，由
解得
··········5分

所以函数
的单调递增区间是
，单调递减区间是
············6分

（2）由已知

·················8分

由（1）知函数
在区间
上单调递减

由于
，
即
····11分

，解得
且
·········13分

所以实数的取值范围是
································14