天津市五区县2013～2014学年度第一学期期末考试

高三理科数学试

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第Ⅱ卷3至8页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题，共40分）

一、选择题：每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

(l)已知集合
，则集合
等于

(A)
(B)

(C)
(D)

(2)下列四个命题中正确命题的个数是

①“函数y= sin2x的最小正周期为
”为真命题；

②
；

③“若
，则
”的逆否命题是“若tana≠l，则
”；

④“
”的否定是“
”。

(A)0 (B)1

(C)2 (D)3

(3)运行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ( )

(A)

(B)

(C)

(D)0

(4)在
，则△ABC的面积为

(A)
（B）
(C)6 (D)12．

(5)右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 ( )

(A)

(B)

（C）

(D)

(6)设
，若函数
有大于零的极值点，则 ( )

(A)a>-3 (B)a<-3 (C)
(D)

(7)如图，椭圆
的左、右焦点为
，上顶点为A，点P为第一象限内椭圆上的一点，若点A到
的距离是点F2到
距离的2倍，则直线
的斜率为 ( )

(A)

(B)

(C)

(D)

(8)已知
是定义在R上的奇函数，且
时，
，若方程
有两个根，则实数a的取值范围是 ( )

(A)[-4,4] (B)

(C)
(D)

第Ⅱ卷（非选择题，共11 0分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上，

(9)已知i是虚数单位，若复数
，则m=______________．

(10)在
的二项展开式中，
的系数为___________．

(11)在直角坐标系xOy中，曲线
的参数方程为
（
为参数）．在极坐标系中，
的方程为
，则
与
的交点的个数为_____________.

(12)若不等式
对任意的
恒成立，则实数
的取值范围为__________．

(13)如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C作圆O的切线交BA的延长线于点D．若
，则圆O的半径是___________．

(14)定义平面向量的一种运算：
，给出下列命题：

①
；②

；③
；

④若
，则
。

其中所有真命题的序号是___________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分1 3分）

已知函数
．

(I)求
的最小正周期及值域；

(Ⅱ)将函数
的图象向右平移
个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到
的图象，求函数
的单调递减区间．

1 6．（本小题满分13分）

质监部门对一批产品进行质检，已知样品中有合格品7件，次品3件．

(I)若对样品进行逐个检测，求连续检测到三件次品的概率；

(Ⅱ)若从样品中一次抽取3件产品进行检测，求检测到次品数X的分布列及数学期望．

17．（本小题满分13分）

如图，底面为直角梯形的四棱柱
中，侧棱
底面ABCD,E为
的中点，且△ABE为等腰直角三角形，AB∥CD,
．

(I)求证：
；

(Ⅱ)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；

(Ⅲ)线段EA上是否存在点F，，使EC//平面FBD?

若存在，求出
；若不存在，说明理由．

18．（本小题满分13分）

在数列
中，
，对任意的正整数n，都有
，且
．

(I)求证：
是等比数列；

(Ⅱ)求数列
的前n项和．

19．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，动点
到F(0，1)的距离比到直线y=-2的距离小1．

(I)求动点P的轨迹W的方程；

(Ⅱ)过点E(0，-4)的直线与轨迹W交于两点A,B，点D是点E关于x轴的对称点，点A

关于y轴的对称点为
，证明
，D，B三点共线。

20．（本小题满分14分）

已知向量
，(k为常数，e是自然对数的底数），曲线
在点
处的切线与y轴垂直，
．

(I)求
的值及F(x)的单调区间；

(Ⅱ)已知函数
，若对于任意
，总存在
，使得
，求实数a的取值范围．