上海市2013—2014学年度高三年级学业质量调研数学试卷

2014.2.23

考生注意： 本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1.函数
的定义域为

2.若直线
与直线
互相垂直，则实数

3.复数
满足
=
，则
=

4.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为

5.在
中，若
，
，
，则

6.已知圆
：
，直线
：
，设圆
上到直线
的距离等于1的点的个数为
，则

7.设等差数列
的公差
，前
项的和为
，则

8.已知
是抛物线
的焦点，
是抛物线上两点，线段
的中点为
，则
的面积为

9.某工厂生产10个产品，其中有2个次品，从中任取3个产品进行检测，则3个产品中至多有1个次品的概率为

10.如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第1层），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有___________层

11.函数

的图象与
轴的交点的横坐标构成一个公差为
的等差数列，要得到函数
的图象，只要将
的图象向右平移 个单位

12.设
，在平面直角坐标系中，函数
的图象与
轴交于点A，它的反函数
的图象与
轴交于点B，并且两函数图象相交于点P，已知四边形
面积为6，则
的值为

13.设函数
的定义域为D，如果对于任意的
，存在唯一的
，使
（C为常数）成立，则称函数
在D上的均值为C.下列五个函数：①
②
③
④
⑤
，则满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号

14.若等差数列
的首项为
公差为
，前
项的和为
，则 数列
为等差数列，且通项为
．类似地，若各项均为正数的等比数列
的首项为
，公比为
，前
项 的积为
，则数列
为等比数列,通项为_____________

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.

15.下列有关命题的说法正确的是

A．命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”．

B．“
”是“
”的必要不充分条件．

C．命题“存在
使得
”的否定是：“对任意
均有
”．

D．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题．

16.已知函数f（x）=sin（2
）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则（
）·
的值为

A．
B．
C．1 D．2

17.如图，偶函数
的图象形如字母M，奇函数
的图象形如字母N，若方程：


的实数根的个数分别为a、b、c、d，则
=

A．27 B．30 C．33 D．36

18.已知
表示大于
的最小整数，例如
．下列命题:

①函数
的值域是
；

②若
是等差数列，则
也是等差数列；

③若
是等比数列，则
也是等比数列；

④若
，则方程
有
个根.

其中正确的是

A.②④ B.③④ C.①③ D.①④

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤 .

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ．

(1)将圆心角为
，面积为
的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积

(2)在
中，满足：
,
，求向量
与向量
的夹角的余弦值

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ．

已知
分别在射线
（不含端点
）上运动，
，在
中，角
、
、
所对的边分别是
、
、
．

（1）若
、
、
依次成等差数列，且公差为2．求
的值；

（2）若
，
，试用
表示
的周长，并求周长的最大值．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ．

已知函数

（1）判断函数f (x)在区间(0, +∞)上的单调性，并加以证明；

（2）如果关于x的方程f (x) = kx2有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．

22． （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分,第（3）小题满分6分

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为

2＋2.记动点C的轨迹为
曲线W.

(1)求W的方程；

(2)经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围

已知点M（，0），N（0, 1），在(2)的条件下，是否存在常数k，使得向量
与
共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分7分

设各项均为非负数的数列
的为前
项和
（

，
）．

（1）求实数
的值；

（2）求数列
的通项公式（用
表示）．

（3）证明：当
（
）时，

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1.
2. 1 3. 5 4.
5.
6. 4 7. 3

8. 2 9.
10. 8 11.
12.3 13. (2)(3)(5) 14.

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.

15.D 16.C 17. B 18D.

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤 .

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ．

(1)设扇形的半径和圆锥的母线都为
，圆锥的半径为
，则

；
；

(2)设向量
与向量
的夹角为

，令
，

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ．

（1）

、
、
成等差，且公差为2，

、
. 又

，
，

，

，

恒等变形得
，解得
或
.又

，

.

（2）在
中，
，

，
，
.

的周长

，

又

，

,

当
即
时，
取得最大值
．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ．

(1)

,

上是减函数

上是增函数

(2)原方程即：

①

恒为方程
的一个解．

②当
时方程
有解，则

当
时，方程
无解；

当
时，
，方程
有解．

设方程
的两个根分别是
则
．

当
时，方程
有两个不等的负根；

当
时，方程
有两个相等的负根；

当
时，方程
有一个负根

③当
时，方程
有解，则

当
时，方程
无解；

当
时，
，方程
有解．

设方程
的两个根分别是

，

当
时，方程
有一个正根，

当
时，方程
没有正根

综上可得，当
时，方程
有四个不同的实数解

22． （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分,第（3）小题满分6分

(1) 设C（x, y）,

∵
,
, ∴
,

∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点.

∴
. ∴
∴ W:

.

(2) 设直线l的方程为
，代入椭圆方程，得
.

整理，得
. ①

因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

，解得
或
.

∴ 满足条件的k的取值范围为

（3）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则
＝（x1+x2，y1+y2),

由①得
. ②

又
③

因为
，
， 所以
.

所以
与
共线等价于
.

将②③代入上式，解得
.

所以不存在常数k，使得向量
与
共线.

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分7分

（1）当
时，
，所以
或
，

若
，则
，取
得
，即
，这与

矛盾；

所以
，取
得
，又

，故
，所以
，

（2）记
①，

则

②，

①
②得

，又数列
各项均为非负数，且
， 所以