新津中学2014届高三2月月考数学（文）试题

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

1. 设集合
，集合
，则
等于

A．
B．
C．
D．

2. 已知
是虚数单位，若复数
是纯虚数，则实数
等于

A．
B．
C．
D．

3．己知命题 “
”是假命题，则实数
的取值范围是

A.
B. (?1,3) C.
D. (?3,1)

4. 执行如图所示的程序框图．若输入
，则输出
的值是

A．
B．
C．
D．

5. 观察下列等式，
，
，
根据上述规律，

A．
B．
C．
D．

6. 函数
（其中A＞0，
）的图象如图所示，为了得到
的图象，则只需将g(x)=sin2x的图象

A. 向右平移
个长度单位

B. 向左平移
个长度单位

C. 向右平移
个长度单位

D. 向左平移
个长度单位

7. 已知三棱锥的底面是边长为
的正三角形，其正视图与俯视图如右图所示则其侧视图的面积为

A．
B．
C．
D．

8. 已知函数：
，其中：
，记函数
满足条件：
的事件为A，则事件A发生的概率为

A．
B．
C．
D．

10. 如图，用一边长为
的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为
的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ）

11．已知数列
是等比数列，数列
是等差数列，则
的值为 .

12．已知双曲线中心在原点，一个焦点为
，点P在双曲线上，且线段
的中点坐标为（
，
），则此双曲线的离心率是 .

13. 若关于
，
的不等式组
（
为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则
的值为 .

14. 在直角三角形
中，
，
，点
是斜边
上的一个三等分点，则
．

15. 给出下列四个命题：

①
中，
是
成立的充要条件；

②当
时，有
；

③已知
是等差数列
的前n项和，若
，则
；

④若函数
为R上的奇函数，则函数
的图象一定关于点
成中心对称.

⑤函数
有最大值为
，有最小值为0。

其中所有正确命题的序号为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共75分.）

16．（本小题满分12分）

已知函数
的图像上两相邻最高点的坐标分别为
.

（Ⅰ）求
的值；

17．（本小题满分12分）

某中学举行了一次“环保知识竞赛”， 全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：

组别

分组

频数

频率



第1组

[50，60）

8

0.16



第2组

[60，70）

a

▓



第3组

[70，80）

20

0.40



第4组

[80，90）

▓

0.08



第5组

[90，100]

2

b





合计

▓

▓





（Ⅰ）求出
的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.

（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；

（ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率.

18.（本小题满分12分）

在数列
中，
为常数，
，且
成公比不等于1的等比数列.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
。

19. （本小题满分12分）

如图，△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC
平面ABC ,
,
.

（Ⅰ）证明：平面ACD
平面ADE；

（Ⅱ）记
，
表示三棱锥A－CBE的体积，求函数
的解析式及最大值.

21．（本小题满分14分）

已知函数
处取得极值2。

（Ⅰ）求函数
的表达式；

（Ⅱ）当
满足什么条件时，函数
在区间
上单调递增？

（Ⅲ）若
为
图象上任意一点，直线与
的图象相切于点P，求直线的斜率
的取值范围。

新津中学高2011级高三（下）2月月考试题

数学（文史类） 参改答案

三、解答题：

16．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

由题意知
. ……………………………………..（4分）

（Ⅱ）
即
又
,

. ……………………………………..（8分）

……………..（10分）

.……………..（12分）

17. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意可知，
． …………………（4分）

（Ⅱ）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为
，第5组共有2人，记为
．

从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有
，

共15种情况． ………………………………………（6分）

设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件
，

有
，
共9种情况． …………（9分）

所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是
．

……………………………………………………………………（10分）

（ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件
，有
共7种情况．

所以随机抽取的2名同学来自同一组的概率
………………（12分）

18. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵
为常数，∴
………………………..（2分）

∴
.

又
成等比数列，∴
，解得
或
…………….（4分）

当
时，
不合题意，舍去. ∴
. ………………………………..（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
……………………………………（6分）

∴
……………………………（9分）

∴

………………………………………（12分）

（2）∵ DC
平面ABC ∴
平面ABC

在Rｔ△ABE中,
,

在Rｔ△ABC中
（
）

∴
，

（
） …………………………………………….….（8分）

备注：未指明定义域扣1分

∵
当且仅当
，即
时，体积有最大值为
.

…………………………………………….….（12分）

20．（本小题满分13分）

(Ⅰ)
依题意
……………………………………….….（2分）

解得
，∴椭圆的方程为：
…………….….（4分）

（Ⅱ）（i）当过
直线
的斜率不存在时，点
，

则
,显然
不为钝角. ………………….….（5分）

(ii)当过
直线
的斜率存在时，设斜率为
，则直线
的方程为
，

设
, 由
得：

.
恒成立.

………………………………….….（8分）

…….….（11分）

当
为钝角时，
<0，

综上所述,满足条件的直线斜率k满足
且
. .……….….（13分）

21（本小题满分14分）

解：(Ⅰ)
因为
······················（2分）

而函数
在
处取得极值2，

所以
， 即
解得

所以
即为所求 ····································（4分）

（Ⅱ）由（1）知

令
得：

则
的增减性如下表：

（-∞，-1）

（-1，1）

（1，+∞）





负

正

负





递减

递增

递减



 可知，
的单调增区间是[-1，1]， ·················（6分）

所以

所以当
时，函数
在区间
上单调递增。 ·········（9分）

（Ⅲ）由条件知，过
的图象上一点P的切线的斜率
为：

··········（11分）

令
，则
，

此时，
的图象性质知：

当
时，
；

当
时，

所以，直线的斜率
的取值范围是
·························（14分）