合肥市2014年第一次教学质量检测

数学（理）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数
，
表示复数
的共轭复数，则
＝（ ）

A．
B．5 C．
D．6

2．设集合
T=
则“
”是“
”的 （　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的结果是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

4．过坐标原点O作单位圆
的两条互相垂直的半径
，若在该圆上存在一点
，使得
（
），则以下说法正确的是（ ）

A．点
一定在单位圆内 B．点
一定在单位圆上

C．点
一定在单位圆外 D．当且仅当
时，点
在单位圆上

5．过双曲线
的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．

C．
D．

6． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）

A．
B．

C．
D．

7、已知函数
，则一定在函数
图像上的点是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．在
中，已知
，
，则
为（ ）

A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．锐角非等边三角形 D． 钝角三角形

9．已知
满足
时，
的最大值为1，则
的最小值为（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10

10．对于函数
，若

，
为某一三角形的三边长，则称
为“可构造三角形函数”．已知函数
是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．若随机变量
～
，且
＝0.1587，则
__________.

12．已知数列
满足
且
,则
.

13．若
展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中
项的系数为_____________．

14．某办公室共有6人，组织出门旅行，旅行车上的6个座位如图所示，其中甲、乙两人的关系较为亲密，要求在同一排且相邻，则不同的安排方法有 种

15．已知直线：
（
为给定的正常数，
为参数，
）构成的集合为S,给出下列命题：

①当
时，
中直线的斜率为
；

②
中所有直线均经过一个定点；

③当
时，存在某个定点，该定点到
中的所有直线的距离均相等；

④当
＞
时，
中的两条平行直线间的距离的最小值为
；

⑤
中的所有直线可覆盖整个平面．

其中正确的是 （写出所有正确命题的编号）．

三、解答题：本大题共六个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知
求：

（Ⅰ）
；

（Ⅱ）
．

17．（本小题满分12分）

如图，
在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=
AB．直角梯形ACEF中，
，
是锐角，且平面ACEF⊥平面ABCD．

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）若直线DE与平面ACEF所成的角的正切值是
，

试求
的余弦值．

18．（本小题满分12分）

已知函数
在
处取得极小值．

（Ⅰ）若函数
的极小值是
，求
；

（Ⅱ）若函数
的极小值不小于
，问：是否存在实数k，使得函数
在
上单调递减.若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由.

19．（本小题满分13分）

已知椭圆
的右焦点为
（1,0），设左顶点为A，上顶点为B,且
，如图．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若
，过
的直线
交椭圆于
两点，

试确定
的取值范围．

20．（本小题满分13分）

某市质监部门对市场上奶粉进行质量抽检，现将9个进口品牌奶粉的样品编号为1，2，3，4，…，9；6个国产品牌奶粉的样品编号为10，11，12，…，15，按进口品牌及国产品牌分层进行分层抽样，从其中抽取5个样品进行首轮检验，用
表示编号为

的样品首轮同时被抽到的概率．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求所有的

的和．

21．（本小题满分13分）

已知函数
，（
＞0，
，以点
为切点作函数
图像的切线
，记函数
图像与三条直线
所围成的区域面积为
。

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）求证：
＜
；

（Ⅲ）设
为数列
的前
项和，求证：
＜
.合肥市2014年第一次教学质量检测数学（理）

参考答案

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



B

A

C

B

A

C

C

B

D

D



二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．0.8413 12． 2012 13．－15 14．144 15．③④

三、解答题：本大题共六个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（12分）【答案解析】

（Ⅰ）

……2分

即
，注意到
，故

，从而
，

……5分

……7分

（Ⅱ）
． ……12分（或者




=
,

=
=
）

17.（12分）【答案解析】（Ⅰ）证明：在等腰梯形ABCD中，∵AD=DC=CB=
AB，∴AD、BC为腰，取AB得中点H，连CH，易知，四边形ADCH为菱形，则CH=AH=BH,故△ACB为直角三角形，
，…3分

平面
平面
，且平面

平面

，
平面
，而
平面
，故

． ……6分

（Ⅱ）连结
交
于
D,再连结EM、FM．易知四边形
为菱形，∴DM⊥AC，注意到平面
平面
，故DM⊥平面
．于是，
即为直线DE与平面ACEF所成的角．

……9分

设AD=DC=BC=
,则MD=
，

依题意，

在
中，

∵
=AM，
四边形AMEF为平行四边形

………12分

18.（12分）【答案解析】（Ⅰ）
，由

知
，解得
， ……4分

检验可知，满足题意．
． ……6分

（Ⅱ）假设存在实数k，使得函数
在
上单调递减．

设
=0两根为
，则

由
得


的递减区间为

由
解得


的递减区间为

由条件有
，解得
， ……10分

函数
在
上单调递减

由

所以，存在实数
，满足题意。 ……12分

19.（13分）【答案解析】（Ⅰ）由已知，
，
，
，则

由
得：
∵
∴
，解得
，

∴
所以椭圆
……4分

（Ⅱ）①若直线
斜率不存在，则
，此时
，
，
＝
；

②若直线
斜率存在，设
，
，则

由
消去
得：

∴
，

∴


＝

∵
∴
∴
∴

综上，
的取值范围为
． ……13分

20.（13分）【答案解析】（Ⅰ）由分层抽样可知：首轮检验从编号为1，2，3，…，9的洋品牌奶粉的样品中抽取3个，从编号为10，11，…，15的国产品牌奶粉的样品中抽取2个，故

＝
＝
． ……4分

（Ⅱ）①当
时，
＝
＝
，而这样的
有
=36个；

②当
时，
＝
，而这样的
有
=15个；

③当
时，
＝
＝
，而这样的
有
=54个．

所以，所有的

的和为

×36＋
×15＋
×54＝10． ……13分

21．（13分）解：（Ⅰ）易知
，切点为
，则
方程为

即

∴
=

（Ⅱ）构造函数


，（
≥0）

则

即函数


，（
≥0）单调递减，而

∴
，等号在
时取得，

∴当
＞