广西桂林十八中2014届高三第六次月考数学理试题

注意：①本试卷共2页。考试时间120分钟，满分150分。

②请分别用2B铅笔填涂选择题的答案、黑色水性笔解答第Ⅱ卷。必须在答题卡上答题，否则不得分。

③文明考风，诚信考试，自觉遵守考场纪律，杜绝各种作弊行为。

第I卷（选择题 共60分）

选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1．已知
是虚数单位，则

A．
　　　B．
　　　C．
　　　D．

2．集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

3．命题“若
，则
”的逆否命题是

A．若
，则
　　　B．若
，则

C．若
，则
　　　D．若
，则

4．已知双曲线
：
的实轴长为
，右焦点
到渐近线的距离为
，则
的方程为

A．
　　　B．
　　　C．
　　　D．

5．已知直三棱柱
中，
，
，
，
为
的

中点，则
与平面
的距离为

A．
　　　B．
　　　C．
　　　D．

6．已知定义在
上以
为周期的奇函数
满足当
时，
，则

A．不存在 　　　B．
　　　C．
　　　D．

7．已知
是等比数列
的前
项和，如果
，
，且
，则

A．
　　　B．
　　　C．
　　　D．

8．设
,向量
，
，
，且
，则

A．
　　　B．
　　　C．
　　　D．

9．设当
时，函数
取得最大值，则

A．
　　　B．
　　　C．
　　　D．

10．已知
、
是椭圆
：
的左右焦点，
是
上一点，若
，则
到左准线的距离等于

A．
　　　　B．
　　　　C．
　　　　D．

11.将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则不同的放法共有（ ）

A.15种 B.18种 C.19种 D.21种

12．已知球的直径
，
是该球球面上的两点，
，
，则三棱锥
的体积为

A．
　　　　B．
　　　　C．
　　　　D．

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设实数
满足不等式组
，则
的最大值是　　　　　　

14．二项式
的展开式中
的系数为60，则正实数
__________

15．将函数
的图象向左平移
个单位后，得到一个偶函数的图象，则
的一个可能值等于　　　　　　

16．设函数
满足
，若对
都有
，则实数
的取值范围是

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，
，
为该三角形的面积，且
．

（I）求角
的大小；

（II）若
为锐角，
，
，求
的值．

解：（I）∵
………………1分

由

………………３分

在三角形中，则
或
．………………5分

（II）∵
为锐角，∴
，

由
，
得，
，∴
，………………７分

由余弦定理得
，………………９分

∴
　　………………10分

18.（本小题满分12分）

已知
是数列
的前
项和，
，且

（I）求证数列
是等差数列；

（II）设数列
满足
，
，求证：数列
是等比数列．

（I）证明：由
知，

当
时，
，解得
或
（舍去）……………１分

当
时，
……………①

……………②……………２分

①－②得，
，即
……………４分

又∵
，∴
，……………５分

∴
是以１为公差，首项等于１的等差数列；………………6分

（II）证明：由（I）知
，则
，……………7分

设
，则
……………10分

又∵
……………11分

∴数列
是以４为首项，２为公比的等比数列，即数列
是等比数列．……………12分

19. （本小题满分12分）已知
是底面边长为2的正三棱柱，
为
的中点．

（Ⅰ）设
与底面
所成的角的大小为
，

二面角
的大小为
，

求证：
；　　　　　

(Ⅱ)若点
到平面
的距离为
，求正三棱柱
的高．

解：（Ⅰ）设正三棱柱的高为
，

∵
，平面
，∴
与底面
所成的角大小等于
与底面
所成的角大小，即
，则
，………2分

∵
，
为
的中点，∴
，

又∵
，交线是
，
，∴
，

∴
是二面角
的平面角，即
，则
，…………5分

∴
……………6分

(Ⅱ) 设
为
的中点，如图建系，则
，
，
，……8分

设平面
的一个法向量为
，则
……………9分

即
，取
……………10分

∴ 点
到平面
的距离为
，……………11分

解得
……………12分

20.（本小题满分12分）

甲、乙两个围棋队各派出三名选手
、
、
和
、
、
并按
、
、
和
、
、
的出场顺序进行擂台赛（擂台赛规则是：败者被打下擂台，胜者留在台上与对方下一位进行比赛，直到一方选手全部被打下擂台比赛结束），已知
胜
的概率为
，而
、
和
、
、
五名选手的实力相当，假设各盘比赛结果相互独立．

（Ⅰ）求到比赛结束时共比赛三盘的概率；

（Ⅱ）用
表示到比赛结束时选手
所胜的盘数，求
的分布列和数学期望
．

解：（I）设到比赛结束时共比赛三盘为事件
，再设在这比赛过程中，
胜出为事件
，
胜出为事件

则
， ………………5分

（II）由题意知
可能的取值为0，1，2，3，………………6分

则
，
，

，
，

∴
的分布列如下：























………………10分

的数学期望
．………………12分

21．（本小题满分12分）设抛物线
：
的焦点为
，准线为
，
为
上一点，已知以
为圆心，
为半径的圆
与
切于
点，且
的面积为
．

（Ⅰ）求
的值及圆
的方程；

（Ⅱ）过
作直线与抛物线
交于
两点，是否存在常数
，使
恒成立？若存在，求常数
的值；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）
，