祁东育英实验学校2014届高考模拟试题（1）

数学（理）2014.2.12.

一、选择题：（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）

1．若复数z满足＝2i，则z对应的点位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a－c＞b－d”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知数列
，若利用

如图所示的程序框图计算该数列的第10项，

则判断框内的条件是（　 ）A．
B．
　C．
D．


4． 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)

5． 若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)

A．2 B．3 C．6 D．9

6． 育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有(　　)

A．80种 B．90种 C．120种 D．150种

7． 函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋2a＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是(　　)

A．－

8．如图所示，正方体
的棱长为1,
分别是棱
，
的中点，过直线
的平面分别与棱
、
交于
，设
，
，给出以下四个命题：

①平面

平面
；

②当且仅当x=
时，四边形MENF的面积最小；

③四边形
周长
，
是单调函数；

④四棱锥
的体积
为常函数；

以上命题中假命题的序号为（　　）

①④ B．② C．③ D．③④

二、填空题（本题共7个小题，每小题5分，共35分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）

（一）选做题（请考生在9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）

9. （选修4-1：几何证明选讲）
是半圆
的直径，点
在半圆上，
，垂足为
，且
，设
，则
的值为 .

10.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直角坐标系
中，直线l的参数方程为
. 以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为
，则圆心C到直线l距离为

11.（不等式证明选讲）若
恒成立，则
的范围是____________.

（二）必做题（12～16题）

12．已知幂函数过点（2，
），则此函数f(x)＝________.

13．若(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋…＋a2 013x2 013(x∈R)，则＋＋…＋＝________.

14.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则
=________.

15． 若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列．记数列为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.

16.已知定义在[1,+∞）上的函数
。给出下列结论：

①函数 f(x)的值域为[0,4];②关于x的方程
有2n+4个不相等的实数根；③当x
时，函数f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S=2；④存在
，使得不等式
成立，其中你认为正确的所有结论的序号为_______.

三、解答题（共6个题， 共75分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）

17.（本题满分12分）

已知
的三个内角
所对的边分别为a，b，c，向量
，
,且
.

(Ⅰ)求角
的大小；

(Ⅱ)若向量
,
,试求
的取值范围.

18.（本题满分12分）

小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔.受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险.根据测算，IEC（国际电工委员会）风能风区分类标准如下：

风能分类

一类风区

二类风区



平均风速m/s

8.5—10

6.5—8.5



某公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目.调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A项目获利
%的可能性为0.6，亏损
%的可能性为0.4；

B项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2.

假设投资A项目的资金为
（
）万元，投资B项目资金为
（
）万元，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目.

（Ⅰ）请根据公司投资限制条件，写出
满足的条件，并将它们表示在平面
内;

（Ⅱ）记投资A，B项目的利润分别为
和
，试写出随机变量
与
的分布列和期望
，
;

（Ⅲ）根据（Ⅰ）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和
的最大值，并据此给出公司分配投资金额建议.

19.（本题满分12分）

如图，平面四边形
的四个顶点都在球
的表面上，
为球
的直径，
为球面上一点，且
平面
，
，点
为
的中点.

(1) 证明：平面
平面
；

(2) 求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.

20．（本题满分13分）

数列
满足
，
（
）.

（1）设
，求数列
的通项公式
；

（2）设
，数列
的前
项和为
，求
.

21．（本题满分13分）

抛物线
:
上一点
到抛物线
的焦点的距离为
，
为抛物线的四个不同的点，其中
、
关于y轴对称，
，
，
，
，直线
平行于抛物线
的以
为切点的切线．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）证明：
；

（Ⅲ）
到直线
、
的距离分别为
、
，且
，
的面积为48，求直线
的方程．

22．（本题满分13分）

已知函数
，当
时，函数
取得极大值.

（1）求实数
的值；

（2）已知结论：若函数
在区间
内导数都存在，且
，则存在
，使得
.试用这个结论证明：若
，函数
，则对任意
，都有
；

（3）已知正数
满足
求证：当
，
时，对任意大于
，且互不相等的实数
,都有

祁东育英实验学校2014届高考模拟试题（1）

数学试题(理)答案

一.选择题：

1．B

2. [解析] B 显然，充分性不成立．若a－c＞b－d和c＞d都成立，则同向不等 式相加得a＞b，即由“a－c＞b－d”?“a＞b”．

3． B 4．D

5．[解析] D f′(x)＝12x2－2ax－2b，

∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，化简得 a＋b＝6，

∵a>0，b>0，∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时，ab有最大值，最大值为9，

8.C

二.填空题(每小题5分,共25分)

9.
10.
11.

12．x-2

13．[解析] －1 令x＝0得a0＝1，令x＝，

得a0＋＋＋…＋＝0， 所以＋＋…＋＝－a0＝－1.

14.【答案】-16

【解析】法一:假设
ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图，

AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝
．

cos∠BAC＝
．
＝

法二：
.

15． [解析] 20　 由调和数列的定义，得xn＋1－xn＝d，即数列{xn}是等差数列，

则x1＋x20＝x2＋x19＝…＝x10＋x11，

∴x1＋x2＋…＋x20＝10(x1＋x20)＝200， 故x5＋x16＝x1＋x20＝20.

16.答案：①③

三.解答题(共75分)

17．解：(Ⅰ)由题意得
，即
. ……………3分

由余弦定理得
,

. ………………6分

（Ⅱ）∵
， ……………7分

∴

. ……9分

∵
，∴
，∴
.

∴
，故
. ………………12分

18.解：(1)
，如图………………4分

（2）A项目投资利润
的分布列







P

0.6

0.4




…………………………………………………………………6分

B项目投资利润
的分布列





0



P

0.6

0.2

0.2





由(I)可知，当
，公司获得获利最大，最大为17.5万元. …………12分

19. (1) 证明：
且
，…………2分

则
平行且等于
，即四边形
为平行四边形，所以
.

…………6分

(2) 以
为原点，
方向为
轴，以平面
内过
点且垂直于
方向为
轴 以
方向为
轴，建立如图所示坐标系.

则
，
，
，

，
，…………8分

由
，
，

可求得平面PBC的法向量为

由
，
，

可求得平面PAD的法向量为

则
，

因此平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
. …………12分

20. 解：（Ⅰ）由已知可得
，即
，

即
即
（2分）

∴

累加得

又
∴
(6分)

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知
，∴
，

∴

（13分）

21．【解答】（Ⅰ）
|QF|=3=2+
，

=2．

（Ⅱ）
抛物线方程为
，A(
)， D(
)， B(
) ，C(
)，

，
，
，

，

，

所以直线AC和直线AB的倾斜角互补，
．

（Ⅲ）设
，则m=n=|AD|sin
，

，

即
，

把

与抛物线方程
联立得：
，

，
，同理可得
，

，

，
．

22.解：（Ⅰ）
. 由
，得
，此时
.

当
时，
，函数
在区间
上单调递增；

当
时，
，函数
在区间
上单调递减.

函数
在
处取得极大值，故
.

（Ⅱ）令
，………3分

则
.

函数
在
上可导，
存在
，使得
.

又