湖北省黄冈市重点中学2013-2014学年上学期期末考试

高三年级数学试题（理科）

考试时间 120分钟 满分150分 命题人：戴洪涛

第I卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设不等式
的解集为
,函数
的定义域为N，则
为（ ）

A． [0，1） B．（0，1） C．[0，1] D．（-1，0]

2．如果复数
，则（　　）

|z|=2
z的实部为1
z的虚部为﹣1
z的共轭复数为1+i

3.已知等比数列
的公比
,且
，
,
成等差数列,则
的前8项和( )

A．127 B．255 C．511 D．1023

4.设
是两条直线，
是两个平面，则
的一个充分条件是（　　）

A．
B．

C．
D．

5.已知菱形ABCD的边长为4，
，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（ ）

A.
B.
C.
D.

6.在平面直角坐标平面上，
，且
与
在直线
上的射影长度相等，直线
的倾斜角为锐角，则
的斜率为 ( )

A．
B．
C．
D．

7.已知点
在圆
上，则函数
的最小正周期和最小值分别为（ ）

A.
，
B.
，
C.
，
D.
，

8.设函数

的图像关于直线
对称，它的周期是
，则（ ）

A．
的图象过点
B．
在
上是减函数[

C．
的一个对称中心是
D．
的最大值是A

9．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2．
则棱锥S—ABC的体积为 ( )

A．
B．
C．
D．

10.函数
与
的图像所有交点的横坐标之和为

A.
B.
C.
D.

11．如图，A，F分别是双曲线
的左顶点、右焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点．若AP⊥AQ，则C的离心率是( )

A．
B．
C．
D．

12.在三棱锥
中，
垂直于底面
，

于
，
于
，若
，
，则当
的面积最大时，
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题---第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题—第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。将正确答案写在答题纸上。

13.设
，则二项式
的展开式中含有
的项的系数为 ______

14.设x，y∈R，若不等式组
所表示的平面区域是一个锐角三角形，则
的取值范围是 ______ ．

15.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有 ___ 个．

16.数列
满足

，设

则
等于____________

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本题满分12分）

设
的三内角
的对边长分别为
,已知
成等比数列,且
. (Ⅰ)求角
的大小；

(Ⅱ)设向量
,
,当
取最小值时,判断
的形状.

18．（本题满分12分）

已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿直线BD将△BCD翻折成△
，使得平面
⊥平面ABD．

（Ⅰ）求证：
平面ABD；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值

19．（本题满分12分）

2013年2月20日,针对房价过高,国务院常务会议确定五条措施(简称“国五条”).为此,记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查,随机抽取了60人,作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图),同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如下表):

月收入(百元)

赞成人数



[15,25)

8



[25,35)

7



[35,45)

10



[45,55)

6



[55,65)

2



[65,75)

1






(I)试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入;

(Ⅱ)若从月收入(单位:百元)在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查,记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.（注明：本图的纵坐标标注的依次是
，
，
，
）

20.(本题满分12分)

已知定点
,
,动点
,且满足
成等差数列.

(Ⅰ) 求点
的轨迹
的方程；

(Ⅱ) 若曲线
的方程为
(
),过点
的

直线
与曲线
相切,求直线
被曲线
截得的线段长的最小值.

21. (本题满分12分)

已知函数
(其中
).

(Ⅰ) 若
为
的极值点,求
的值；

(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式
；

(Ⅲ) 若函数
在区间
上单调递增,求实数
的取值范围.

请考生在第22、23、24题中任选一道作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．

22．（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，

△ACD的外接圆交于BC于点E，AB＝2AC．

（1）求证：BE＝2AD；

（2）当AC＝1,EC＝2时，求AD的长．

23.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.

已知曲线C
：
（t为参数）， C
：
（
为参数）。

（1）化C
，C
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C
上的点P对应的参数为
，Q为C
上的动点，求
中点
到直线
（t为参数）距离的最小值及此时Q点坐标.

24．（本题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

已知
，设关于x的不等式
+

的解集为A.

（Ⅰ）若
,求
；（Ⅱ）若

, 求
的取值范围。

河北冀州中学2013-2014学年上学期期末考试

高三年级数学试题（理科）答案

A卷1-5 A C B C D 6-10 C B C C B 11-12 D D

B卷1-5 A C B B D 6-10 C B A B B 11-12 D A

13．
14．
15． 120． 16.

17.解:(Ⅰ)因为
成等比数列,则
.由正弦定理得
.

又
,所以
.因为
,则
.

因为
,所以
或
. …………4分

又
,则
或
,即
不是
的最大边,故
. …………6分

(Ⅱ)因为
,

所以
.

所以当
时,
取得最小值. …………9分

此时
,于是
. 又
,从而
为锐角三角形. ……………………………12分

18、证明：证明：（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，

沿直线BD将△BCD翻折成△

可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，

即
，

． ………………2分

∵平面
⊥平面
，平面

平面
=
，
平面
，

∴
平面
． ………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
平面ABD，且
，

如图，以D为原点，

建立空间直角坐标系
．

则
，
，
，
．

∵E是线段AD的中点，

∴
，
．

在平面
中，
，
，

设平面
法向量为
，

∴
，即
，

令
，得
，故
．………………（6分）

设直线
与平面
所成角为
，则

．

∴ 直线
与平面
所成角的正弦值为
． ………………（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面
的法向量为
，

而平面
的法向量为
，

∴
， ………………（10分）

因为二面角
为锐角，

所以二面角
的余弦值为
． ………………（12分）

19、解：（Ⅰ）这60人的月平均收入为：

（百元）

………………（4分）

（Ⅱ）根据频率分布直方图可知道：

………………（6分）

……（10分）

(每算对一个一分，正确给出x的取值1分，共5分)

………………（12分）

（正确写出分布列1分，正确算出期望值1分）

20.【解析】(Ⅰ)由
,
,

…………………2分

根据椭圆定义知
的轨迹为以
为焦点的椭圆,

其长轴
,焦距
,短半轴
,故
的方程为
. ……4分

(Ⅱ)设
:
,由过点
的直线
与曲线
相切得
,

化简得
(注:本处也可由几何意义求
与
的关系)…………6分

由
,解得
…………7分

联立
,消去
整理得
,…………………8分

直线
被曲线
截得的线段一端点为
,设另一端点为
,解方程可得
,

所以
……………………10分

(注：本处也可由弦长公式结合韦达定理求得)

令
,则
,

考查函数
的性质知
在区间
上是增函数,

所以
时,
取最大值
,从而
. ………… 12分

21.【解析】(Ⅰ)因为

…2分

因为
为
的极值点,所以由
,解得
……………3分

检验,当
时,
,当
时,
,当
时,
.

所以
为
的极值点,故
.……………4分

(Ⅱ) 当
时,不等式

,

整理得
,即
或
…6分

令
,
,
,

当
时,
；当
时,
,

所以
在
单调递减,在
单调递增,所以
,即
,

所以
在