金华十校2013(2014学年第一学期期末调研考试

高三数学（理科）试题卷

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟． 试卷总分为150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式：

球的表面积公式 棱柱的体积公式

S=4πR2 V=Sh

球的体积公式 其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高．

V=
πR3 棱台的体积公式

其中R表示球的半径 V=
h(S1+
+S2)

棱锥的体积公式 其中S1、S2表示棱台的上、下底面积，h表示棱

V=
Sh 台的高．

其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高． 如果事件A、B互斥，那么P(A+B)= P(A)+ P(B)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1． 已知集合M={x|2x>1}，N={x| x≥1}，则

A．[1,+∞) B．(0,1) C．((∞,0) D． (0,+∞)

2． 复数
（i为虚数单位）在复平面上对应的点所在的象限为

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

3． 已知a，b是实数，则“|a(b|≥|a|+|b|”是“ab<0”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4． 若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是

A．4 B．5

C．6 D．7

5． 在空间中，若m,n是两条不同的直线，(,(是两个不同的平面，则下列命题中正确的是

A．(∥(, m ((, n((( m∥n B．(⊥(, n∥(, m⊥((n⊥m

C． m∥n, m⊥((n⊥( D．m∥n, m∥(( n∥(

6. 若数列{an}的前n项和Sn满足Sn= 4(an(n∈N*)，则a5=

A．1 B．
C．
D．

7． 有4名优秀学生A、B、C、D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，且A生不去甲学校，则不同的保送方案有

A．24种 B．30种 C．36种 D．48种

8． 若实数x,y满足不等式组
且z=x+3y的最大值为12，则实数k=

A．(12 B．
C．(9 D．

9． 已知A，B，C是单位圆O上任意的不同三点，若
，则正实数x的取值范围为

A．(0,2] B．[1,3] C．[2,4] D．[3,5]

10．对于项数都为m的数列{an}和{bn}，记bk为a1,a2,…,ak(k=1,2,…,m)中的最小值，给出下列命题：

①若数列{bn}的前5项依次为5，5，3，3，1，则a4=3；

②若数列{bn}是递减数列，则数列{an}也是递减数列；

③数列{bn}可能是先递减后递增的数列；

④若数列{an}是递增数列，则数列{bn}是常数列．

其中，是真命题的为

A．①④ B． ①③ C．②③ D． ②④

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分．

11． 等差数列{an}中，a2=3，S5=25则公差d= ▲ ．

12．
的展开式中，常数项为 ▲ ．

13．已知函数y=Asin((x+()（A>0,(>0）的部分图象如图

所示，则此函数的最小正周期为 ▲ ．

14．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何

体最长的一条侧棱长度是 ▲ cm．

15．已知向量a，b，c满足a+b+c=0，| c |=
，且c与a(b所

成的角为120°，则当t∈R时，|ta+(1(t)b|的取值范围是 ▲ ．

16．已知点F ((
,0) (c >0)是双曲线
的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线与抛物

线y=
相切，则该双曲线的离心率为 ▲ ．

17．若函数
的值域为
，则实数a的最小值为 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知c=1，
．

(Ⅰ)若a=
，求b的值；

(Ⅱ)求cosAcos B的取值范围．

19．（本题满分14分）

袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为
。现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终止。若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分。每个球在每一次被取出的机会是等可能的。用(表示甲四次取球获得的分数之和．

(Ⅰ)求袋中原有白球的个数；

(Ⅱ)求随机变量(的概率分布列及期望E(．

20．（本题满分14分）

如图，在四棱锥P(ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=
，BC=
，PA=2，点M在线段PD上．

(Ⅰ) 求证：AB⊥PC；

(Ⅱ) 若二面角M(AC(D的大小为45°，求AM的长．

21．(本题满分15分)

已知曲线C上任意一点P到两定点F1((1,0)与F2(1,0)的距离之和为4．

(Ⅰ)求曲线C的方程；

(Ⅱ)设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M((4,0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点（B在M、C之间），N为BC中点．

(ⅰ)证明：k·kON为定值；

(ⅱ)是否存在实数k，使得F1N⊥AC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．

22．(本题满分15分)

已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2(x，a∈R．

(Ⅰ)当
时，求函数y=f(x)的极值；

(Ⅱ)是否存在实数b∈(1,2)，使得当x∈((1,b]时，函数f(x)的最大值为f(b)？若存在，求实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．

金华十校2013(2014学年第一学期期末调研考试

高三数学（理科）卷参考答案

一．选择题：每小题5分，共50分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

B

A

C

D

A

C

B

D



二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．2 12．60
13．( 14．

15．
16．2或
17．(2

三．解答题：

18．解：（Ⅰ）解法一：由余弦定理
得
，所以b=1或b=2.

解法二：由正弦定理

，
．

当
;当

综上，b=1或b=2.

(Ⅱ)

因为
,所以
,

所以cosAcos B的取值范围是
．

19．解：(Ⅰ)证明：如图1，设E为BC的中点，连结AE，

则AD=EC，且AD∥EC，所以四边形

AECD为平行四边形，故AE⊥BC，又AE=BE=EC=
，

所以∠ABC=∠ACB=45°，得AB⊥AC．

因为PA⊥平面ABCD，AB(平面ABCD，所以AB⊥PA．

又PA ∩AC=A，PA(平面PAC ，AC(平面PAC，

所以AB⊥平面PAC，得AB⊥PC．……………4分

(Ⅱ)解法一：如图2，设AC与BD交于点O，连结OP，过点M作MN⊥AD于N，过点N作NG⊥AC于G，连结MG，则MN∥PA，

由PA⊥平面ABCD，得MN⊥平面ACD，所以MN⊥AC，故AC⊥平面MNG，得AC⊥MG，

所以∠MGN就是二面角M-AC-D的平面角，即∠MGN=45°．……………10分

设MN=x，则NG=AG= x，所以AN= ND=
，

可得M为PD的中点． 连结PO交BM于H，连结AH，

由(Ⅰ)AB⊥平面PAC，所以∠BAH就是BM与平面PAC所成的角． ………12分

在△ABM中，AB=4，AM=
PD=
，BM=
，

所以
，

又∠BAH与∠ABM互余，所以
，

即BM与平面PAC所成的角的正弦值为
．……………15分

解法二：如图,3，以A为坐标原点，以射线AE、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,

建立空间直角坐标系A(xyz，则
，
，

，
，
，
．

设
，
，

则
，
,

所以
，

即
，……………10分

设n=(x1,y1,z1)是平面AMC的一个法向量，

则
，

令
，得
，即
．

又m=(0,0,1)是平面ACD的一个法向量，

所以
，

解得
，即M为PD的中点，故
，
．……………13分

而
是平面PAC的一个法向量，设BM与平面PAC所成的角为θ，

则
，

故BM与平面PAC所成的角的正弦值为
．……………15分

（其它建系方法类似给分）

20．解：（Ⅰ）设袋中原有n个白球，由题意知：
，

解之得n=3或n=(2（舍去），即袋中原有3个白球；

(Ⅱ)由上得。袋中有3个白球、4个黑球。甲四次取球可能的情况是：4个黑球、3黑1白、2黑2白、1黑3白。相应的分数之和为4分、5分、6分、7分，即(可能的取值是4,5,6,7。

；
；

；

(

4

5

6

7



P











 所以(的概率分布列为：

.

21．解：(Ⅰ)
．

(Ⅱ)设过点M的直线l的方程为y=k(x+4)，设B(x1, y1)，C(x2, y2) (x2>y2)．

(ⅰ)联立方程组
，得
，

则
，故
，
，

所以
，所以k?kON=
为定值.

(ⅱ)若F1N⊥AC，则kAC?kFN= (1，

因为F1 ((1,0)，
故

，

代入y2=k(x2+4)得x2=(2(8k2，y2=2k (8k3，而x2≥(2，故只能k=0，显然不成立，所以这样的

直线不存在．…………………………………………………………………… 15分

22． 解：（Ⅰ）当
时，
，

则
，化简得
（x>(1）

∴函数f(x)在((1,0)，(1,+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，且f(0)=0，
，

∴函数y=f(x)在x=1处取到极小值为
，在x=0处取到极大值为0；

(Ⅱ)由题意

(1)当a≤0时，函数f(x)在((1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减,

此时，不存在实数b∈(0,1)，使得当x∈((1,b]时，函数f(x)的最大值为f(b)；

(2)当a>0时，令
有x=0或
，

(ⅰ)当
即
时，函数f(x)在
和(0,+∞)上单调递增，在
上

单调递减，

要存在实数b∈(0,1)，使得当x∈((1,b]时，函数f(x)的最大值为f(b)，

则
，代入化简得
……………………（1）

令
，因
恒成立，

故恒有
，∴
时，（1）式恒成立；

（ⅱ）当
即
时，函数f(x)在
和
上单调递增，

在
上单调递减，

此时由题，只需
，解得
，又
，

∴此时实数a的取值范围是
；

（ⅲ）当
时，函数f(x)在
上单调递增，显然符合题意；

综上，实数a的取值范围是
．………………………… 15分