湖北省黄冈市重点中学2013年—2014年上学期期末考试

高三年级数学试题（文）

时间120分钟 满分150分

第Ⅰ卷（共60分）

选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若
的共轭复数为
，
（
为虚数单位），则
等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知等比数列{
}的前
项和为
,且
，则数列
的公比
的值为 （ ）

A．2 B．3 C．2或-3 D．2或3

3.函数

的图像为 ( )

4.阅读如图所示的程序框图,若输入
,则输出的
值是（　　）

A．
B．
C．
D．

5. 函数
存在与直线
平行的切线，

则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

6.已知
，且关于
的函数
在R上有极值，

则向量
的夹角范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数．给出下列函数：①
；②
；③
；④
。其中“互为生成”函数的是（ ）

　　A．①② B．②③ C．③④ D．①④

8．能够使圆
恰有两个点到直线
距离等于1的c的一个值为（ ）A．
B．
C．2 D．3

9．在三棱锥A—BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面积分别为
、
、
。则三棱锥A—BCD的外接球的体积为 （ ）

A．
B．
C．
D．

10.如下图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列
的前12项，如下表所示：





















































按如此规律下去，则
（ ）

A.501 B.502 C.503 D.504

11. 某几何体的三视图如图所示,则

这个几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.记实数
中的最大数为
，最小值为
。已知
的三边边长为
，定义它的倾斜度为



，则
是“
为等边三角形”的（ ）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 双曲线
的渐近线为

14.已知
辆汽车通过某一段公路时的时速的频

率分布直方图如右图所示，则时速在
的汽车大约

有 辆.

15．已知x、y满足
且目标函数
的最大值为7，则最小值为______

16. 已知
为
上的偶函数,
为
上的奇函数且过点
,则
___________.

三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本题满分12分）在
中，
面积

（1）求BC边的长度；（2）求值：

18．(本小题满分12分)

2012年3月2日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》,其中规定:居民区 的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米.某城市环保部门在2013年1月1日到 2013年4月30日这120天对某居民区的PM2. 5平均浓度的监测数据统计如下:

(I)在这120天中抽取30天的数据做进一步分析,每一组应抽取多少天?

(II)在(I)中所抽取的样本PM2. 5的平均浓度超过75(微克/立方米)的若干天中,随 机抽取2天,求恰好有一天平均浓度超过115(微克/立方米)的概率.

19．（本题满分12分）

如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC.AD垂直于PB于D，

AE垂直于PC于E.PA＝，AB＝BC＝1.

(1)求证：PC⊥平面ADE；

(2)R为四面体PABC内部的点，BR∥平面AED，

求R点轨迹形成图形的面积.

20．(本小题满分12分)椭圆的左、右焦点分别为
和

,且椭圆过点
.

(Ⅰ)求椭圆
的方程;

(Ⅱ)过点
作不与
轴垂直的直线
交该椭圆于
两点,
为椭圆的左顶点,试判断
的大小是否为定值,并说明理由.

21. (本小题满分12分)

已知函数

(1)若
的单调区间;

(2)若函数
存在极值,且所有极值之和大于
,求a的取值范围.

【选考题】

请考生在第26、27、28题中任选一道作答，多答、不答按本选考首题进行评分

22 ．(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲

如图,圆
的直径
,
是
延长线上一点,
,割线
交圆
于点
、
,过点
作
的垂线,交直线
于点
,交直线
于点
.

(I)求证:
; (II)求
的值.

23.(本小题满分10分)《选修4-4:坐标系与参数方程》

以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为
(t为参数,0<α<π),曲线C的极坐标方程为
.

(I)求曲线C的直角坐标方程;

(II)设直线l与曲线C相交于A、B两点,当α变化时,求|AB|的最小值.

24．(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

已知函数
.

当
时,求
的解集;

(II)当
时,
恒成立,求实数
的集合.

河北冀州中学

2013年—2014年上学期期末考试

高三年级数学答案（文）

一、选择题：A卷BCDCB CDDAD BB

B卷ADDBC DCBAD AA

二、填空题：
80

三、解答题：

17.（1）解：在
中


2分

4分

6分

（2）
=

12分

18.解:(Ⅰ)这120天中抽取30天,应采取分层抽样,

第一组抽取
天;第二组抽取
天;

第三组抽取
天;第四组抽取
天

(Ⅱ)设PM2.5的平均浓度在(75,115]内的4天记为
,PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为
.所以6天任取2天的情况有:

共15种

记“恰好有一天平均浓度超过115(微克/立方米)”为事件A,其中符合条件的有:







共8种

所以，所求事件A的概率

19.解：(1)PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.

又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，则BC⊥AD.

又AD⊥PB，∴AD⊥平面PBC，

∴PC⊥AD，又PC⊥AE，∴PC⊥平面ADE.------------------6分

(2)过点B作BM∥DE交PC于点M，过M做MQ∥AE交AC于点Q，

则平面BMQ∥平面ADE.

∵BM∥DE，则＝＝，∴M为CE的中点.

∵MQ∥AE，∴点Q为AC中点.

∵BR∥平面AED，R为四面体PABC内部的点，

∴R的轨迹是△BQM内部的点.

∵BQ⊥QM，∴R点轨迹形成图形的面积为△BQM的面积，

S△BQM＝MQ·BQ＝××＝，

∴R点轨迹形成图形的面积为.----------------------------------------------------------12分

20.解：(1)设椭圆方程为
,由题可知:

,解得
,所以椭圆的方程

4分

(2)设直线
的方程为
,联立方程组可得

,化简得:

设
,则
,

又
,则

,

所以
,所以
的大小为定值

21.解:(1)函数
的定义域为

时

对
恒成立,所以
的递减区间是
,无递增区间

(2)

因为
存在极值,所以
在
上有根即方程
在
上有根.

记方程
的两根为
由韦达定理
,所以方程的根必为两不等正根.

所以

又
满足方程
判别式大于零

故所求取值范围为

22.解：(I)连接
,则
,

即
、
、
、
四点共圆.

∴

又
、
、
、
四点共圆,

∴

∴

(II)∵
,

∴
、
、
、
四点共圆,

∴
,又
,

23.解:(I)由
,得

所以曲线C的直角坐标方程为
.

(II)将直线l的参数方程代入
,得t2sin2α-4tcosα-4=0.

设A、B两点对应的参
数分别为t1、t2,则

t1+t2=
,t1t2=
,

∴|AB|=|t1-t2|==
,

当α=时,|AB|的最小值为4

24.解:(I)解:原不等式可化为
,

当
时,
,则
,无解;

当
时,
,则
,∴
;

当
时,
,则
,∴
,

综上所述:原不等式的解集为

(II)原不等式可化为
,

∵
,∴
,

即
,

故
对
恒成立,

当
时,
的最大值为
,
的最小值为

∴实数
的集合为