高三数学试题（理）参考答案

一、选择题：

1．C 2．C 3．A 4．B 5．A 6．A 7．B 8．C 9．A 10．D 11．C 12．B

二、填空题：

13．
14．
15．
16．②④

三、解答题

17．解：（Ⅰ）

，…………………… 5分

…………………………………………………………………… 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
，
时,
，

当
时，
取得最大值4，此时
；………………………… 9分

由
得
.由余弦定理，得
，

∴
，即
， 则
.…………………………12分

18．解：（Ⅰ）由图知，取PA的中点为H，连接EH，HF，

由已知，E、F分别为线段PD和BC的中点及底面ABCD是

平行四边形可得出HE

AD，CF

AD，故可得HE
CF，

所以四边形FCEH是平行四边形，可得FH
CE.........3分

又CE面PAF，HF?面PAF，所以CE∥平面PAF......5分

（II）由底面ABCD是平行四边形且∠ACB=90°

可得CA⊥AD，又由平面PAD⊥平面ABCD，

可得CA⊥平面PAD，所以CA⊥PA，

又PA=AD=1，PD=
，可知PA⊥AD，

所以建立如图所示的空间坐标系A﹣XYZ. ………………………7分

因为PA=BC=1，PD=AB=
，所以AC=1,

所以B（1，－1，0），C（1，0，0），P（，0，0，1），

=（1，－1，0），
=（0，0，1）. …………………… 8分

设平面PAB的法向量为m=（x，y，z）

则可得
，令x=1，则y=1，z=0，所以m=（1，1，0），

又
=（0，－1，0），又
=（－1，0，1），

设平面PCB的法向量为n=（x，y，z），则
，令x=1，

则y=0，z=1，所以n=（1，0，1），…………………………10分

所以|cos＜m，n＞|=
，所以二面角A﹣PB﹣C的大小为60°.………… 12分

19．解：（Ⅰ）设需要新建个桥墩，
，即
， …………………………2分

所以

；…………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，

令
=0，得
，所以=64. ……………………………………………………8分

当0<<64时
<0，
在区间（0，64）内为减函数；

当
时，
>0.
在区间（64，640）内为增函数; ………………10分

所以
在=64处取得最小值，此时，
，

故需新建9个桥墩才能使最小. ………………………………………………………12分

20．解：（Ⅰ）在
中，

令n=1，可得
，即
.………………………………………………2分

当
时，
,∴
，

∴
，即
.

∵
，………………………………………………………………4分

即当
时，
. ……又
，

∴数列{bn}是首项与公差均为1的等差数列.

于是
. …………………………………………… 6分

（Ⅱ）∵
,∴
, ……………………8分

∴

.……11分

所以
.…………………………………………………………………………12分

21．解；（Ⅰ）由题意知
的定义域为
，

，由题意知
，解得；a=1，…………………………2分

于是
，由
解得：
，由
解得：
，

当
时，
，
为增函数，

当
是，
，
为减函数，

即
的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为
，………………………5分

（Ⅱ）由(1)知,任意
,即
的最大值为0，

由题意知;任意
使得
成立，

只需
，………………………………………………………… 7分

又
,令
，

当
时，
,
，

当m>0时，
，
在
上递减，

，
即
;…………………………10分

当m<0时，
，
在
上为增函数，

即
.……………………12分

22．解；（Ⅰ）依题意
， ……………………………………………1分

双曲线的焦距为
，

……………………… 3分

双曲线C的方程为
. ……………………………………………………4分

（Ⅱ）设点
直线AP的斜率为k(k>0),

则直线AP的方程为y=k(x+1) ，…………………………………………………… 5分

联立方程组
整理得；
，…………………… 6分

解得x=－1 ，
，由题意知：
，………………………………….7分

同理解方程组
可得；
，

为一定值. ………………………………………………9分

（Ⅲ）设点
则
，

，

在双曲线上，则
，
，

又点P是第一象限的点，
. …………………………………………11分

，

由（Ⅱ）知
=1， 即

上单调递减，在
上单调递增，

，

的取值范围
.………………………………………………………………14分