高三第四次阶段性考试

数 学 试 题 （文） 2013.12

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集
，集合
,
,则图中的阴影部分表示的集合为

A.
B.
C.
D.

2．已知函数

A.
B.
C.e D.

3．当
时，则下列大小关系正确的是

A．
B．

C．
D．

4.“函数
单调递增”是“
”的什么条件

A．充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要

5．命题


；命题


. 则下面结论正确的是

A.是假命题 B.
是真命题 C.
是假命题 D.
是真命题

6.如图，在正方体
中，
分别是
的中点，则下列判断错误的是( )

A．
与
垂直

B．
与
垂直

C．
与
平行

D．
与
平行

7.函数
的图象可能是

A B C D

8.一个几何体的三视图如图，、这个几何体的

体积是 （ ）

A．27 B．30

C．33 D．36

9.已知正数x，y满足
的最大值为 （ B ）

A．
B．
C．
D．

10.设函数
在区间
上有两个零点，则的取值范围是（ ）



A.

B.

C.

D.



11.已知
是单位圆上的动点，且
，单位圆的圆心为，则
（）

A．
B．
C．
D．

12.已知数列
满足
，其中
，试通过计算
猜想
等于 （ ）

A.
B.

C.
D.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13.设
向量
，
，且
则
.

14.已知函数
，当
时，取得最小值
,则
____

15. 不等式组
表示的平面区域的面积是

16.设、是不同的直线，、
、是不同的平面，有以下四个命题：

① 若
则
②若
，
，则

③ 若
，则
④若
，则

其中所有真命题的序号是 __________

三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．（本小题满分12分）

已知函数
的部分图象如图所示.

（Ⅰ）求
的解析式；

（Ⅱ）求
的单调递增区间.

18.（本小题满分12分）

设△
所对的边分别为
，已知
.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求
.

19.（本小题满分12分）

已知等差数列
的公差
大于0，且
,
是方程
的两根，数列
的前项和为
满足
.

（Ⅰ）求数列
,
的通项公式；

（Ⅱ）记
，求证：
.

20.（本小题满分12分）

如图1，在梯形
中，
∥
,
,

将四边形
沿
折起，使平面
垂直平面
，如图2，连结
.设
是
上的动点.

（Ⅰ）若
为
中点，求证：
∥平面
;

（Ⅱ）若
,求三棱锥
的体积.

21（本小题满分12分）

高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台．当笔记本电脑销售价为6000元/台时，月销售量为a台；市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(0

（Ⅰ）写出月利润y与x的函数关系式；

（Ⅱ）如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大．

22.（本小题满分14分）

已知二次函数
，其导函数
的图象如图，

（Ⅰ）求函数
处的切线斜率；

（Ⅱ）若函数
上是单调函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若
的图像不在函数
图象的下方，求的取值范围．

高三第四次阶段性考试

数学试题答案（文） 2013.12

一、选择题 BDCB DDAB BCCD

二、填空题

13. 【答案】5 14.【答案】4 15.【答案】24 16. 【答案】①③

三、解答题

17. 解：(1)由图知，A＝1，T＝π，所以
＝π，

解得ω＝2. ----------------------------------------3分

又因为函数f(x)过代入得　sin＝1，

所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z).

又因为0<φ<π，所以φ＝. ----------------------------------------5分

所以f(x)＝sin. ----------------------------------------6分

(2) g(x)＝f(x)＋sin2x＝sin＋sin2x

＝sin2x＋cos2x＋sin2x＝sin2x＋cos2x

＝＝sin.--------------------------------9分

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， --------------------------------10分

解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z). --------------------12分

18.解：（Ⅰ）∵

∴
…………（2分）

∴
……………………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）在△ABC中，∵

∴
且
为钝角.……………（6分）

又∵

∴
……………………………………（8分）

∴
……………………………（10分）

∴

…………………………（12分）

19. 解：（1）因为
是方程
的两根，且数列
的公差
，所以
，…………（2分）

公差
.所以
. （4分）

又当
时，有
，所以
.…………（5分）

当
时，有
，所以
.…………（6分）

所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，…………（7分）

所以
. （8分）

（2）由（1）知
，…………（9分）

所以
，…………（11分）

所以
. （12分）

20.证明：（Ⅰ）取
中点
，连接
, --------------------1分

∵
分别是
的中点，

∥
且
--------------------2分

又
∥
且

∥
且
四边形
为平行四边形. --------------------4分

∥
,又
平面
平面
∥平面
-----------6分

（Ⅱ）
. -----------------8分

平面
平面
且交于

平面
是点到平面
的距离,

又
------------10分

. -----------------12分

21.解：(1)依题意，销售价提高后变为6000(1＋x)元/台，月销售量为a(1－x2)台，----------2分

则y＝a(1－x2)[6000(1＋x)－4500]，-----------------4分

即y＝1500a(－4x3－x2＋4x＋1)(0

(2)由(1)知y′＝1500a(－12x2－2x＋4)，------------------7分

令y′＝0得，6x2＋x－2＝0，

解得x＝或x＝－(舍去)．---------------------------------9分

当00；当

故当x＝时，y取得最大值．------------------10分

此时销售价为6000×＝9000元．------------------11分

故笔记本电脑的销售价为9000元/台时，该公司的月利润最大．------------------12分

22.解：（1）由已知，
，其图象为直线，且过
两点，

…………1分

…………2分

…………3分

，所以函数
处的切线斜率为0 …………4分

（2）

（0，1）

1

（1，3）

3







+

0

－

0

+





↗



↘



↗





的单调递增区间为（0，1）和

的单调递减区间为（1，3） …………6分

要使函数
在区间
上是单调函数，则
，解得
…………8分

（3）由题意，
恒成立，

得
恒成立，

即

恒成立，

设
…………10分

因为

当

的最小值为
的较小者． …………12分

…………13分

又已知
,

． …………14分