2014年1月高三教学质量调研考试

数学（文科）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共4页,考试时间120分钟,满分150分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1．答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

4．填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

参考公式：

1．棱锥的体积公式：
(S为棱锥的底面面积,h为棱锥的高)

2．样本数据
的方差公式：
（其中
为样本平均数）

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1．已知复数
,则
的实部为

A．l B．2 C． -2 D． -1

2．设全集
,集合
,
,则

等于

A．
B．
C．
D．

3．为了调查城市PM2.5的情况,按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组,对应的城市数分别为8,16,24.若用分层抽样的方法抽取12个城市,则中型组中应抽取的城市数为

A．3 B．4 C．5 D．6

4．执行右面的程序框图．若输入n=7,则输出的值为



A．2 B．3 C．4 D．5

5．已知
为等差数列,且
,
则Sl0的值为

A．50 B．45 C．55 D．40

6．函数
的图象大致是

7．把函数
的图象向右平移
个单位,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,则所得图象对应的函数解析式是

A．
B.

C．
D.

8．已知命题p:
,且a>0,有
,命题q:
,
,则下列判断正确的是

A．p是假命题 B．q是真命题

C．
是真命题 D．
是真命题

9．已知直线l1：
,l2：
,若
,则a的值为

A．0或2 B．0或一2 C．2 D．-2

10．若变量x,y满足约束条件
则
的最大值为

A．4 B．3 C．2 D．1

11．已知双曲线
的两条渐近线均与圆
相切,则该双曲线离心率等于

A．
B．
C．
D．

12．设函数
对任意的
满足
,当
时,有
-5．若函数
在区间
上有零点,则k的值为

A．-3或7 B．-4或7 C．-4或6 D．-3或6

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4个小题,每小题4分,共16分）

13．已知两点
,
,向量
,若
,则实数k的值为 ．

14．若a1,a2,…a10这10个数据的样本平均数为
,方差为0.33,则a1,a2,…a10,
这11个数据的方差为________．

15．一个正三棱柱的三视图如图所示,如果左视图的面积为
,则这个三棱柱的体积为________．

16.给出下列命题

①在△ABC中,A>B是sinA>sinB的充要条件；

②设m,n是两条直线,α,β是空间中两个平面．若
,
； ③函数f(x)=
是周期为2π的偶函数；

④已知定点A(1,1),抛物线y2 =4x的焦点为F,点P为抛物线上任意一点,则
的最小值为2；

以上命题正确的是________（请把正确命题的序号都写上）

三、解答题（本大题共6小题,共74分）

17．（本小题满分12分）

已知△ABC的三内角A,B,C所对三边分别为a,b,c,且
．

(Ⅰ)求sinA的值；

(Ⅱ)若△ABC的面积S=12,b=6,求a的值．

18．（本小题满分12分）

一个盒子中装有形状大小相同的5张卡片,上面分别标有数字1,2,3,4,5,甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张．

(Ⅰ)写出所有可能的结果,并求出甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数的概率；

(Ⅱ)以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为边长来构造三角形,求出能构成三角形的概率．

19．（本小题满分12分）

在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,N为线段PB的中点,G在线段BM上,且

(Ⅰ)求证：AB⊥PD；

(Ⅱ)求证：GN//平面PCD．

20.（本小题满分12分）

设正项数列
an
为等比数列,它的前n项和为Sn,a1=1,且a1+ S2= a3.

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ)已知
是首项为1,公差为2的等差数列,求数列
的前n项和Tn．

21.（本小题满分12分）

已知椭圆C:
的离心率为
,长轴长为
.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若直线
交椭圆C于A、B两点,试问：在y轴正半轴上是否存在一个定点M满足
,若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．

22.（本小题满分14分）

已知函数
,

(Ⅰ)当a=4时,求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)求函数g(x)在区间
上的最小值；

(Ⅲ)若存在
,使方程
成立,求实数a的取值范围（其中e=2.71828…是自然对数的底数）

2014年1月高三教学质量调研考试

数学（文科）试题答案（阅卷）

选择题：

1.D 2.B 3.B 4.D 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10. A 11.C 12.D

填空题：

13.
14. 0.3 15.
16. ①④

解答题：

17. 解：（Ⅰ）由
得

所以
……………………………………3分

又

解得
…………………………………………6分

（Ⅱ）
，又
，解得
，……………………8分

由
，
得
……………………9分

∴
……………………11分

∴
.………………………………………………………12分

18. 解：（Ⅰ）甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张，基本事件有

共20个………………………………………2分

设事件
“甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数”

则事件包含的基本事件有
共8个………4分

所以
.…………………………………………6分

（Ⅱ）剩下的三边长包含的基本事件为：

共10个；

……………………………………………………8分

设事件
“剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形“

则事件包含的基本事件有：
共3个……………………10分

所以
.……………………12分

备注:第二问也可看做20个基本事件，重复一倍。

19. （Ⅰ）证明：因为
平面
，所以
，……………… 2分

又因为
，所以
平面
，……………………4分

又
平面
，所以
.……………………6分

（Ⅱ）因为
是正三角形，且
是
中点，

所以
，………………………………………… 7分

在直角三角形
中，
，所以
，

在直角三角形
中，
，

所以
，所以
，………………………………………10分

又因为
，所以
，又
为线段
的中点，所以
，

平面
，
平面
，所以
平面
……………………12分

20. 解：(Ⅰ)设在等比数列
中，公比为,

∵
∴
∴
……………………2分

解得
或
……………………4分

所以
………………………………6分

(Ⅱ)由已知得：
，则
.……………………7分

①……………………………9分

②……………………10分

②—①,得

…………………………………………12分

21. 解：（I）由题意得
，
……………………………………2分

解得
…………………………………………3分

椭圆的方程为
.…………………………………………4分

（II）当
时，直线
与椭圆交于两点的坐标分别为
，

设y轴上一点
,满足
, 即
，

∴
解得
或
（舍），

则可知
满足条件，若所求的定点M存在，则一定是P点.……………………6分

下面证明
就是满足条件的定点.

设直线
交椭圆于点
,
.

由题意联立方程

………………8分

由韦达定理得，
………………………………9分

∴

………………………………11分

∴
，即在y轴正半轴上存在定点
满足条件. ………………12分

解法2：

设y轴上一点
,满足
, 即，
……………………5分

设直线
交椭圆于点
,
.

由题意联立方程

………………7分

由韦达定理得，
………………………………8分

∴

……………………………10分

整理得，

由对任意k都成立，得

且

解得
……………………………11分

说以存在点
满足
. ……………………………12分

22. 解：（Ⅰ）
……………………………………1分

当
时，
，令
得
…………………2分

∴当
时，
的单调增区间为
，单点减区间为
.………3分

（Ⅱ）
， 令
，得
………………………………4分

①当
时，在区间
上
，
为增函数，

∴
………………………………………………5分

②当
时，在区间
上
，
为减函数，……………6分

在区间
上
，
为增函数，……………………7分

∴
……………………………………8分

(III) 由
可得

∴
， ……………………………………9分

令
，则
………10分





















单调递减

极小值

单调递增



……………………………… 12分

，
，

…………………………………………13分

∴实数的取值范围为
…………………………………………… 14分