2014年1月高三教学质量调研考试

数学（理科）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共4页,考试时间120分钟,满分150分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

1．答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效．

4．填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）

1．若
(a、b都是实数,i为虚数单位）,则a+b=

A．1 B． -1 C．7 D．-7

2．已知集合
,
,则

A．
B．
C．
D．

3．设

,
,则

A．
B．
C．
D．

4．等比数列
的前n项和为Sn,若
,
,则公比q的值为

A．1 B．
C．l或
D．-1或

5．将函数
的图象向左平移
个长度单位后,所得到的函数为偶函数,则m的最小值是

A．
B.
C．
D．

6．“m=3”是“直线
与直线
垂直”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．设变量x,y满足约束条件
,则目标函数
的最大值为

A．2 B．3 C．4 D．5

8．函数
的图象大致为

9．已知m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列命题：

①若
,
,则
； ②若
,
,且
,则
；③若
,
,则
； ④若
,
,且
,则
．其中正确命题的序号是

A．①④ B．②③ C．②④ D．①③

10．设M是
边BC上任意一点,N为AM的中点,若
,则λ+μ的值为

A．
B．
C.
D．1

11．已知抛物线
与双曲线
有相同的焦点F,点A是两曲线的一个交点,且
轴,则双曲线的离心率为

A．2 B．
C.
D．

12．设
是定义在R上的可导函数,当x≠0时,
,则关于x的函数

的零点个数为

A．l B．2 C．0 D．0或 2

第Ⅱ卷（非选择题,共90分）

注意事项：

1．将第Ⅱ卷答案用0.5 mm的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上．

2．答卷将密封线内的项目填写清楚．

二、填空题（本题共4小题,共16分）

13．执行如图所示的程序框图,则输出的结果S是________．

14．一个四棱锥的三视图如图所示,其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形,则这个几何体的体积是________．

15．已知定点
,F为抛物线
的焦点,动点P为抛物线上任意一点,当
取最小值时P的坐标为________．

16．已知
,
,若直线
与圆
相切,则
的取值范围是________．

三、解答题（本题共6小题,共74分）

17．（本小题满分12分）

已知
,
,函数

(1)求函数
的解析式；

(2)在
中,角
的对边为
,若
,
,
的面积为
,求a的值．

18．（本小题满分12分）

已知函数
是奇函数．

(1)求m的值：

(2)设
．若函数
与
的图象至少有一个公共点．求实数a的取值范围．

19.（本小题满分l2分）

已知
为等比数列,其中a1=1,且a2,a3+a5,a4成等差数列．

(1)求数列
的通项公式：

(2)设
,求数列{
}的前n项和Tn．

20．（本小题满分12分）

在长方体ABCD- A1B1C1D1中,AD＝１,AA1＝AB＝２．点E是线段AB上的动点,点M为D1C的中点．

(1)当E点是AB中点时,求证：直线ME‖平面ADD1 A1；

(2)若二面角A- D1Ｅ-Ｃ的余弦值为
．求线段AE的长．

21．（本小题满分12分）

已知函数
．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若
,
在区间
恒成立,求a的取值范围．

22．（本小题满分14分）

已知椭圆
经过点
,离心率为
．

(1)求椭圆C的方程：

(2)过点Q(1,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点,点P(4,3),记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,当k1·k2最大时,求直线l的方程．

2014年1月高三教学质量调研考试

数学（理科）试题答案（阅卷）

选择题（共60分）

BCDCA ADABA DC

填空题（共16分）

13. 1007

14.

15．

16．

三、解答题（共74分）

17. （本小题满分12分）

解：(1)∵
=

=
------------------------------------3分

故函数
的解析式为
------------------------------------6分

(2)∵
即
所以
-------------------8分

又
，可得：
------------------------------------10分

所以
,得
------------------------------------12分

18. （本小题满分12分）

解：（1）由函数
是奇函数可知：
， ------------------------------2分

解得
. ------------------------------------4分

（2）函数
与
的图象至少有一个公共点

即方程

至少有一个实根 - -----------------------------------6分

即方程
至少有一个实根 ------------------------------------8分

令
，则方程
至少有一个正根

方法一：由于

∴a的取值范围为
. ------------------------------------12分

方法二：令
，由于
，所以只须
，

解得
.

∴a的取值范围为
.

19. （本小题满分12分）

解：(1)设在等比数列
中，公比为,

因为
成等差数列.

所以

------------------------------2分

解得
------------------------------4分

所以
------------------------------6分

(Ⅱ)
.

①

② ------------------------------8分

①—②,得

------------------------------10分

所以
------------------------------12分

20. （本小题满分12分）

（1）证明：取
的中点N，连结MN、AN、
， ------------------------------1分

MN∥
，AE∥
， ------------------------------3分

四边形MNAE为平行四边形，可知 ME∥AN------------------------------4分

∥平面
. ------------------------------6分

（2）解：设
，如图建立空间直角坐标系---------------------------7分

，

平面
的法向量为
，由

及

得
------------------------------9分

平面
的法向量为
，由

及

得
------------------------------11分

，即
，解得

所以
------------------------------12分

21．（本小题满分12分）

解：(1)
的定义域为
. ------------------------------1分

------------------------------3分

（i）若
即
,则
故
在
单调增加. ------------------------------4分

(ii)若
,而
,故
,则当
时，
;

当
或
时，
；

故
在
单调减少，在
单调增加. -----------------------------5分

(iii)若
,即
,

同理可得
在
单调减少，在
单调递增. ------------------------------6分

由题意得
恒成立.

设
， ------------------------------8分

则

所以
在区间
上是增函数， - -----------------------------10分

只需
即
------------------------------12分

22．（本小题满分14分）

解:(1) 由已知可得
，所以
① -----------------------------1分

又点
在椭圆
上，所以
② -----------------------------2分

由①②解之，得
.

故椭圆
的方程为
. -----------------------------4分

(2)【解法一】①当直线
的斜率为0时,则

; ----------------5分

②当直线
的斜率不为0时,设
,
,直线
的方程为
,

将
代入
,整理得
.------------------------7分

则
,
-----------------------------9分

又
,
,

所以,

-----------------------------11分

令
,则

当
时即
时，
；

当
时，

或

当且仅当
,即
时,
取得最大值. -----------------------------13分

由①②得,直线
的方程为
. -----------------------------14分

【解法二】①当直线
垂直于x轴时,则

;

②当直线
与x轴不垂直时,设
,
,直线
的方程为
,

将
代入
,整理得
.

则

又
,
,

所以,

令