高三第四次阶段性考试

数 学 试 题 （理） 2013.12

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。[来源:Z*xx*k.Com]

1.设集合A=
，Ｂ＝
若A
B,则实数
必满足　　

A．
B．
C．
D．

２．不等式
的解集为

A．
　　B．
　C．
　　 D．

3.设
,向量
且
,则

A．
B．
C．
D．

4．命题“存在实数
,使
”的否定是

A．对任意实数
, 都有
B．不存在实数
,使

C．对任意实数
, 都有
D．存在实数
,使

5. “
”是“一元二次方程
”有实数解的

A．充分非必要条件 B．充分必要条件

C．必要非充分条件 D．非充分必要条件

6.设
是直线,
是两个不同的平面

A．若
B．若

⊥
,则

C．若
,
⊥
,则

D．若
,


,则
⊥

7.函数
的图象沿
轴向右平移
（
）个单位，所得图象关于
轴对称，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

8.设
,
,给出下列三个结论:

①
，②
， ③
,

其中所有的正确结论的序号是

A．① B．① ② C．② ③ D．①②③

9.若
，
，
，
，则

A．
B．
C．
D．

10.已知
为等比数列.下面结论中正确的是

A．
B．

C．若
,则
D．若
,则

11.对于正实数
,记
为满足下述条件的函数
构成的集合:
且
,有
.下列结论中正确的是

A．若
,则

B．若
且
,则

C．若
,则

D．若
且
,则

12.已知函数
的图象关于直线
对称,且当
成立若a=(20.2)·
·
·
,则a,b,c的大小关系是

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。

13.已知不等式组
表示的平面区域的面积为4，点
在所给平面区域内
，则
的最大值为 ▲ .

14.图中的三个直角三角形是一个体积为20cm2的几何体的三视图，则h= ▲ cm

15.如图，在平行四边形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足为P，
则
▲ .

16.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：[来源:学|科|网]

将三角形数1，3，6，10，…记为数列
，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列
，可以推测：
是数列
中的第____▲ ___项.

三、解答题；本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本题满分12分）已知锐角
中，角
所对的边分别为
，

已知
，

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
的值．

18. （本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD和BDMN都是矩形，且MD⊥平面ABCD，P是MN的中点.若AB=4,BC=3,MD=1,

（Ⅰ）求证:DP∥平面ANC；

（Ⅱ）求二面角N-AC-B的余弦值.

19. （本题满分12分）在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离
（米）与车速
（千米/小时）需遵循的关系是

（其中
（米）是车身长,
为常量）,同时规定
．

（Ⅰ）当
时，求机动车车速的变化范围；

（Ⅱ）设机动车每小时流量
，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量
最大．

20. （本题满分12分） 定义在
上的函数
同时满足以下条件：

①
在
上是减函数，在
上是增函数；

②
是偶函数；③
在
处的切线与直线
垂直.

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）设
，求函数
在
(
)上的最小值.

21. （本题满分12分）已知：数列
的前
项和为
，若
，

（Ⅰ）求证：
是等差数列；

（Ⅱ）若
，

求证：

22. （本题满分14分）
已知函数
．

（I）讨论
的单调性；

（II）设
，证明：当
时，
；

（III）若函数
的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为
，

证明：
．

高三第四次阶段性考试

数学试题答案
（理） 2013.12

一、选择题：D A B C A B A D C B A B

二、填空题：13. 6 14. 4 15. 18 16. 5035

三、解答题

17. （本题满分12分）已知锐角
中，角
所对的边分别为
，

已知
，

（Ⅰ）求
的值；[来源:学科网ZXXK]

（Ⅱ）若
的值．

解：（Ⅰ）因为
为锐角三角形，且
，所以
………1分

……………………2分

……………………4分

将
代入得

=
……………………6分

（Ⅱ）由
，得
①……8分

得
，

即
② ………………………………………………10分

由①②解得
………………………………………………12分

18. （本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD和BDMN都是矩形，且MD⊥平面ABCD，P是MN的中点.若AB=4,BC=3,MD=1,

（Ⅰ）求证:DP∥平面ANC；

（Ⅱ）求二面角N-AC-B的余弦值

（Ⅰ）证明:连接BD交AC于O,连接NO,……………………………1分

∵四边形ABCD,BDMN都是矩形,

∴O是BD的中点,又P是MN的中点,

∴PN∥DO

∴四边形PNOD是平行四边形，

∴DP∥ON………………………………2分

又DP
平面ANC，NO
平面ANC

∴DP∥平面ANC；……………………………4分

（Ⅱ）解法一：作BH垂直于AC于H连接NH ，……………………………………………………6分

∵MD⊥平面ABCD,DM∥NB,

∴NH⊥平面ABCD,

由三垂线定理得：NH⊥AC,…………………………………8分

∴∠NHB是二面角N-AC-B的平面角，………………………9分

在RT△NBH中，

,
,
,…………………11分

∴
,

∴二面角N-AC-B的余弦值为
…………………………12分

解法二:建立如图所示的坐标系,

则:A(3,0,0),C(0,4,0),N(3,4,1),………………………………………………7分

设
是平面ANC的一个法向量,

又
,

则

解得:

∴
………………………9分

又
是平面ABC的一个法向量,……………………………10分

设二面角N-AC-B的大小为
,

则
,

∴二面角N-AC-B的余弦值为
……………………………………………12分

19. （本题满分12分）在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离
（米）与车速
（千米/小时）需遵循的关系是

（其中
（米）是车身长,
为常量）,同时规定
．

（Ⅰ）当
时，求机动车车速的变化范围；

（Ⅱ）设机动车每小时流量
，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量
最大．

解：（Ⅰ）由
得:
………………2分

∴

∴机动车车速的变化范围为
…………………4分

（Ⅱ） 由（Ⅰ）得当
时,
,

∴
, …………………………………………6
分

Q是v的一次函数，

∴当
时，Q的最大为
，…………………………………7分

当
时,

∵

∴
, …………………………………8分

…………………………………………9分

当且仅当
,即
时取“=”， ……………………………………10分

∴当
时Q最大为
．……………
……………………………11分

又

∴
当
时Q有最大：
…………………………………………12分[来源:学科网ZXXK]

20. （本题满分12分）
定义在
上的函数
同时满足以下条件：

①
在
上是减函数，在
上是增函数；

②
是偶函数；③
在
处的切线与直线
垂直.

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）设
，求函数
在
(
)上的最小值.

解：（Ⅰ）
……………………1分

由已知得
，即
，……………………3分

解得
。……………………5分

故函数
的解析式为
……………………5分[来源:学,科,网Z,X,X,K]

（Ⅱ）∵
，……………………6分

∴
……………………
…………7分

令
得
,当
时，
，函数
单调递减；当
时，
，函数
单调递增。……………………8分

若
，在
上函数
单调递增，

此时
；…………………………………9分

若
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递减，此时
；………………………………11分

综上可知，函数
在
上的最小值为:

当
时,

当
时,
.…………………………12分

21. （本题满分12分）已知：数列
的前
项和为
，若
，

（Ⅰ）求证：
是等差数列；

（Ⅱ）若
，

求证：

证明：（Ⅰ）当
时，
①

②

①-②得：

∴

③………………2分

④

④-③得：

…………………………………………3分

∴
…………………………………………4分

即：

∴
是等差数列；…………………………………………5分

（Ⅱ）证法一：由
得：

…………………………………………6分

设公差为
，则
，

∴
…………
………………………………7分

∴