参考公式：1．
；2．

0.050

0.010

0.001





3.841

6.635

10.828





样本数据
的标准差 锥体体积公式

其中
为样本平均数 其中
为底面面积，
为高

柱体体积公式 球的表面积，体积公式

其中
为底面面积，
为高 其中R为球的半径

第I卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）已知集合
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）复数
(为虚数单位)等于

（A） （B）
（C） （D）

（3）如图是一个几何体的三视图，则它的体积是

（A）4 （B）
（C）2 （D）

（4）“
”是“
”成立的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（5）实数x，y满足不等式组
则
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）已知函数
的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移
个单位，所得函数的一个对称中心是

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）下面是计算P=1×2×3×4×…×2012的程序框图则判断框中的M代表

（A）i<2012 （B） i>2012 （C） i=2011 （D）i>2011

（8）函数
在坐标原点附近的图象可能是

（9） 已知
的前n项和
Sn=n2-6n则
的值是

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为
，其中
，若
，就称甲乙“心有灵犀”. 现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为

（A）
（B）
（C）
（D）

（11） 已知函数
的导函数为
,
没有零点且图象是连续不断的曲线,又
的图象关于点(2012,0)对称.若函数定义域内的三个值
满足
，则
的值

（A）大于零 （B）小于零 （C）等于零 （D）正负都有可能

（12）两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”.已知直线l1:2x-y+a=0, l2: 2x-y+a2+1=0和圆：x2+y2+2x-4=0相切，则a的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

第II卷（共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

（13）某单位出现多人食物中毒，检验员怀疑与吃过食堂中的A菜有关，将调查的有关数据整理为下面的2×2列联表：

食物中毒

未中毒

总计



未吃过A菜

5

50

55



吃过A菜

9

22

31



总计

14

72

86



试运用独立性检验的思想方法分析：有 的把握认为吃过A菜与食物中毒有关系.

（14）若
展开式的第四项为常数项，则n=_________.

（15）已知直线
与曲线
相切，则的值为 .

（16）给出以下四个命题：

①已知命题
；命题
.则命题
是真命题；

②过点
且在轴和轴上的截距相等的直线方程是
；

③函数
在定义域内有且只有一个零点；

④若直线
和直线
垂直，则角
或

.

其中正确命题的序号为 ．（把你认为正确的命题序号都填上）

三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）

（17）(本小题满分12分)

数列{an}、{bn}均为各项都是正整数的等差数列，an=n, b1=1, 在集合M={(ai, bj)︳i=1,2, 3,…,n；j=1,2, 3,…,n}中满足ai+bj≤4的点恰有4个.

（Ⅰ）求bn及{bn}的前n项和Sn；

（Ⅱ）求
的前n项和Tn.

（18）(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=
，∠BAC=∠CAD=
， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2.

（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；

（Ⅱ）求直线CE与平面PAC所成角的余弦值.

（19）(本小题满分12分)

现代人普遍认为拓展训练是一种挑战极限、完善人格的训练．某大学生拓展训练中心着眼于大学生的实际情况，精心地设计了三个相互独立的挑战极限项目，并设置如下计分办法：

项目

甲

乙

丙



挑战成功得分

10

30

60



挑战失败得分

0

0

0



据调查，大学生挑战甲项目的成功概率为
，挑战乙项目的成功概率为
，挑战丙项目的成功概率为
．

（Ⅰ）求某同学三个项目全部挑战成功的概率；

（Ⅱ）记该同学挑战三个项目后所得分数为X，求X的分布列并求
．

（20）(本小题满分12分)

已知
，函数
，
（为自然对数底数）.

（I）求函数
在区间
上的最小值
；（II）是否存在
使曲线
在点
处的切线与轴垂直？若存在，求出
的值；

若不存在，请说明理由.(21) (本小题满分12分)

在平面直角坐标系
中，点到两点
的距离之和等于4，设点轨迹为
.

（Ⅰ）写出
的方程；

（Ⅱ）设直线
与
交于
两点，以AB为直径的圆过原点
,求
的值；

（Ⅲ）若点在第一象限,证明:当
时,恒有
.

（22）（本小题满分10分）

已知ABCD为圆内接四边形，ABAD,延长BC、AD相

交于点E，过三点D、C、E的圆与BD的延长线交于点F．

求证: ECEBDBDF=DE2

 理科数学参考答案

即bn=1+(n-1)2=2n-1，
………………………………6分

（Ⅱ）有（Ⅰ）知
……8分

………………10分

．…………………………………………12分

18．(本小题满分12分)

解：（1）取AD的中点F，连接EF、CF，

则EF∥PA，∴EF∥面PAB

在
ABC中，

所以AC=2，

在
中，

所以AD=4，因为F为中点，所以AF=2，

所以
为正三角形，

所以

所以CF∥AB，所以CF∥面PAB

即面CEF∥面PAB，所以CE∥面PAB，

（2）(法一)∵PA⊥面ABC，∴PA⊥CD，又∠ACD=
，∴CD⊥面PAC

∴面DPC⊥面PAC，作EH⊥PC于H点，则EH⊥面PAC

∴∠ECH为CE与平面PAC所成的角

在
PCD中，CD=2
，PC=2
∴PD=2

∵E为中点，∴CE=
，EH=

∴sin∠ECH=
=

所以CE与平面PAC所成角的余弦值为

（法二）建立如图所示的坐标系，

则A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，
，0）、D（-2，2
，0）、P（0，0，2）

所以有E（-1，
，1）、

=(0,0,2),
=（1，
，0）

设面PAC的法向量为
（x，y，z）

则
，即

∴
（-
，1，0）

又
（-2，0，1）

∴cos
=
=

设直线CE与平面PAC所成角为
，则有sin
=

∴cos
=
，即直线CE与平面PAC所成角的余弦值为

19．(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）甲乙丙这三个项目全部挑战成功的概率

；………………………………………4分

（Ⅱ）由题意，X的可能取值为0，10，30，40，60，70，90，100。…………6分

，
，

，
，

，
，

，
。………………………………………8分

所以X的分布列为

X

0

10

30

40

60

70

90

100



P



















………………………………………10分

E（X）=0×
+10×
+30×
+40×
+60×
+70×
+90×
+100×

=60.5(分)

所以该同学所得分的数学期望为60.5分…………………………………………12分

20．(本小题满分12分)

解：（I）函数
的定义域为{x|x>0}

因为
，

a>0时解
得x>a

所以当x>a时f(x)单调递增，当0

因此:

当a属于（0，e]时，函数在x=a处取得最小值

当a>e时，函数在x=e处取得最小值

综上：

当
时，函数f(x)在区间（0，e]上无最小值；

当a属于（0，e]时，函数f(x)在区间（0，e]上最小值为lna；

当a>e时，函数f(x)在区间（0，e]上最小值为

（II）：

函数
的定义域为{x|x>0}

由（I）知：当a属于（0，e]时，函数f(x)在区间（0，e]上最小值为lna，因此
可以看作是函数f(x)中a=1,

因此
在区间（0，e]上的最小值为ln1=0,

因此：

即
在区间（0，e]上不可能为零，因此：

不存在
，使曲线y=g(x)在点
处的切线与y轴垂直。

22.（本小题满分10分）

证明：因为ABCD为圆内接四边形，ABAD,因为圆内接四边形对角互补，所以
。…………………3分

由题意，四边形CDFE为圆内接四边形，所以
，

所以
，所以DFE∽DAB。…………………6分

所以
，

所以ECEBDBDF=EDEADADE=DE (EADA)=DE2.……………………10分