2014年长春市高中毕业班第一次调研试题

数学试题卷(理科)及参考答案与评分标准

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分 钟，其中第II卷22题一24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡 一并交回.

第I卷 (选择题60分)

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.

1.复数Z=1－i 的虚部是( )

(A).i (B) －i (C) －1 (D)1

2.已知集合M={
},集合N={ x|lg(3-x)>0},则
=( )

(A).{ x|2

3.函数f(x)=(sinx+cosx)2 的一条对称轴的方程是( )

4.抛物线
的焦点到准线的距离是( )

(A) 2 (B)1 　　　　　　　　(C).
　　 (D).

5.等比数列
中,
前三项和为
,则公比q的值是( )

(A).1 　　　　　　(B)－

(C) 1或－
(D)－ 1或－

6.定义某种运算
,运算原理如图所示，

则式子
的值为

( A).－3 　(B).－4 (C).－8 (D). 0

7.实数x,y满足
，若函数z=x+y的最大值为4,则实数a的值为

(A). 2 (B). 3 (C).
　 (D).4

8.已知三条不重合的直线m,n,l 和两个不重合的平面α，β ,下列命题正确的是:( )

(A). 若m//n，n
α，则m// α

(B). 若α⊥β, α
β=m, n⊥m ，则n⊥α.

(C) .若 l⊥n ，m⊥n, 则l//m

(D). 若l⊥α，m⊥β, 且l⊥m ，则α⊥β

9.已知双曲线
的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，－b），

若
，则双曲线的离心率值为（　　）

（A）
　　　（B）
　　　

（C）
　　　　（D）

10.一个半径为1有球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的表面积为（ ）

第二卷(非选择题,共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作 答，第22题-24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).

13、在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则
＝＿＿＿

14.已知三棱柱ABC-A1B1C1 底面是边长为
的正三角形,侧棱垂直于底面,且该三棱柱的外接球表面积为12
,则该三棱柱的体积为 .

15.已知数列
，圆
，

圆
，若圆C2平分圆C1的周长，则
的所有项的和为 .

16.定义[x]表示不超过x的最大整数,例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,若f(x)=sin(x-[x]),则下列结论中

①y＝f(x)是奇是函数 ②.y＝f(x)是周期函数 ,周期为2
③..y＝f(x)的最小值为0 ,无最大值 ④. y＝f(x)无最小值,最大值为sin1.正确的序号为 .

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17.(本小题满分12分）

设等差数列
的前n项和为Sn, 且
,

(1).求数列
的通项公式

(2).若
成等比数列,求正整数n的值 .

18. (本小题满分12分）

已知向量
,设函数f(x)=
.

(1).求函数f(x)的最小正周期;

(2).已知a,b,c分别为三角形ABC的内角对应的三边长,A为锐角,a=1,
，且f(A)恰是函数f(x)在
上的最大值,求A,b和三角形ABC的面积.

19. (本小题满分12分）

如图所示,正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E为AB的中点,

(1).求证:D1E⊥A1D ;

(2).在线段AB上是否存在点M，使二面角D1-MC-D的大小为
？，若存在,求出AM的长，若不存在，说明理由

20．(本小题满分12分）

已知椭圆
＝1(a>b>0)的左焦为F,右顶点为A,上顶点为B,O为坐标原点,M为椭圆上任意一点,过F,B,A三点的圆的圆心为(p,q).

(1).当p+q≤0时,求椭圆的离心率的取值范围;

(2).若D(b+1,0),在(1)的条件下,当椭圆的离心率最小时,
的最小值为
,求椭圆的方程.

21. (本小题满分12分）

已知函数

(1).a≥－2时,求F(x)= f(x)- g(x)的单调区间;

(2).设h(x)= f(x)+ g(x),且h(x)有两个极值点为x1 , x2 ,其中
,求h(x1)- h(x2)的最小值.

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.

如图,四边形为边长为a的正方形,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的圆O交于F,连接CF并延长交AB于点 E.

(1).求证:E为AB的中点;

(2).求线段FB的长.

23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.

以直角坐标系的原点为极点O，
轴正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1,-5),点C的极坐标为
,若直线l经过点P,且倾斜角为
，圆C的半径为4.

(1).求直线l的参数方程及圆C的极坐标方程;

(2).试判断直线l与圆C有位置关系.

24. 本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.

已知f(x)=|x+1|+|x-1| ,不等式f(x)的解集为M.

(1).求M;

(2).当a,b
M时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.

2014年长春市高中毕业班第一次调研测试

数学（理科）试题参考答案及评分标准

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题纸上）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

B

A

D

C

D

A

D

B

D

C

C



1.【试题答案】

【试题解析】由复数虚部定义：复数

的虚部为
，得
的虚部为
，故选
.

2.【试题答案】

【试题解析】因为
，
，所以
，故选
.

3.【试题答案】

【试题解析】化简
，∴将选项代入验证，当
时，
取得最值，故选
.

4.【试题答案】

【试题解析】由抛物线标准方程

中
的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又
，故选
.

5.【试题答案】

【试题解析】
，设公比为
，又
，则
，即
，解得
或
，故选
.

6.【试题答案】

【试题解析】由题意可知，程序框图的运算原理可视为函数
，

所以
，
，

，故选
.

7.【试题答案】

【试题解析】由
，得
,则
表示该

组平行直线在
轴的截距。又由约束条件

作出可行域如图，先画出
，经

平移至经过
和
的交点
时，
取得

最大值，代入
，即
，所以

，故选
.

8.【试题答案】

【试题解析】A选项，直线
可能在平面
内；B选项，如果直线
不在平面
内，不能得到
；C选项，直线
与
可能平行，可能异面，还可能相交；故选
.

9.【试题答案】

【试题解析】由
得
，又
，
，

则
，
，所以有
，即
，从而

解得
，又
，所以
，故选
.

10.【试题答案】

【试题解析】由三视图可知，该几何体为一个球体，下半球完整，上半球分为四份，去掉了对顶的两份，故表面积应为球的表面积，去掉
球的表面积，再加上
个
圆面积，故
，又球半径
，
，故选
.

11.【试题答案】

【试题解析】不等式
表示的平面区域如图

所示，函数
具有性质
，则函

数图像必须完全分布在阴影区域①

和②部分，
分布在区

域①和③内，
分布

在区域②和④内，
图像

分布在区域①和②内，

在每个区域都有图像，故选

12.【试题答案】

【试题解析】验证
，

易知
时，
；
时，

所以
在
上恒成立，故
在
上是增函数，又
，

∴
只有一个零点，记为
，则
.

同理可证明
也只有一个零点，记为
，且
.故

有
个不同零点
，
,
即将
向左平移

个单位，
即将
向右平移
个单位，∴
，
，

又函数
的零点均在区间
内，且
，故当
，

时，即
的最小值为
，故选

第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）

二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）

13.【试题答案】

【试题解析】
.

14.【试题答案】

【试题解析】设球半径
，上下底面中心设为
，
，由题意，外接球心为
的中点，设为
，则
，由
，得
，又易得
，由勾股定理可知，
，所以
，即棱柱的高
，所以该三棱柱的体积为
.

15.【试题答案】

【试题解析】设圆
与圆
交于
,
，则直线
的方程为：

，

化简得：

又圆
平分圆
的周长，则直线
过
,代入
的方程得：
,

∴

.

16.【试题答案】 ③

【试题解析】
，
，

则
，故①错。

，∴
，故②错。
在

是单调递增的周函

数，知
，故
，故③正确，易知④错。综上，正确序号为③。

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17.【试题解析】

（1）设等差数列
的公差为
，

则
，

又
，则
，故
. ……………………………………………6分

（2）由（1）可得
，又
，

即
，化简得
，

解得
或
（舍），所以
的值为4.……………………………………12分

18.【试题解析】

（1）

…………4分

因为
，所以最小正周期
. ……………………6分

（2）由（1）知
，当
时，
.

由正弦函数图象可知，当
时，
取得最大值
，又
为锐角

所以
. ……………………8分

由余弦定理
得
，所以
或

经检验均符合题意. ……………………10分

从而当
时，△
的面积
；……………11分

. ……………………12分

19.【试题解析】

（1）连结
交
于
，

∵四边形
为正方形，

∴


，

∵正方形
与矩形
所在平面互相垂直，交线为
，
，

∴

平面
，又

平面

∴


，

又


，∴
平面
，

又

平面
，∴

.……………………………………………6分

（2）存在满足条件的
.

【解法一】假设存在满足条件的点
，过点
作

于点
，连结

，则
，

所以
为二面角
的平面角，

……………………9分

所以
，

在
中，
所以
，

又在
中，
，所以
，∴
，

在
中，
，

∴
．

故在线段
上存在一点
，使得二面角
为
，且
. ………………………………………12分

【解法二】依题意，以
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，因为
，则
，
，
，
，所以
，
.

易知
为平面
的法向量，设

，所以
,

设平面
的法向量为
，所以
，即
，

所以
，取
，

则
，又二面角
的大小为
，

所以
，

即
，解得
.

又因为
，所以
.

故在线段
上是存在点
，使二面角
的大小为
，且
.

……………………………………………12分

20.【试题解析】

（1）设半焦距为
.由题意
的中垂线方程分别为
，

于是圆心坐标为
.所以
，

整理得
， ……………………………………………4分

即
，

所以
，于是
，即
.

所以
，即
. ……………………………………………6分

（2）当
时，
，此时椭圆的方程为
，

设
，则
，

所以
. …………………8分

当
时，上式的最小值为
，即
，得
；…………10分

当
时，上式的最小值为
，即
，

解得
，不合题意，舍去.

综上所述，椭圆的方程为
. ……………………………………12分

21.【试题解析】

（1）由题意
，其定义域为
，则
，2分

对于
，有
.

①当
时，
，∴
的单调增区间为
；

②当
时，
的两根为
，

∴
的单调增区间为
和
，

的单调减区间为
.

综上：当
时，
的单调增区间为
；

当
时，
的单调增区间为
和
，

的单调减区间为
. ………6分

（2）对
，其定义域为
.

求导得，
，

由题
两根分别为
，
，则有
，
， ………8分

∴
，从而有

，……10分

.

当
时，
，∴
在
上单调递减，

又
，

∴
. ………………12分

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. 【试题解析】 (1) 由题意知，
与圆
和圆
相切，切点分别为
和
，

由切割线定理有：
所以
，即
为
的中点.…5分

(2)由
为圆
的直径，易得
，

∴
，

∴
∴
. ………10分

23. 【试题解析】

（1）直线
的参数方程
，即
（
为参数）

由题知
点的直角坐标为
，圆
半径为
，

∴圆
方程为
将
代入

得圆
极坐标方程
………5分

（2）由题意得，直线
的普通方程为
，

圆心
到
的距离为
，

∴直线
与圆
相离. ………10分

24. 【试题解析】

（1）由
，即
，

当
时，则
，得
，∴
；

当
时，则
，得
，恒成立，∴
；

当
时，则
，得
，∴
；

综上，
. ………5分

（2）当
时， 则
，
.

即：
，
，∴
，

∴
，即
，

也就是
，

∴
，

即：
，

即
. ………10分