湄潭中学2013—2014学年第一学期学期测试

高三年级（理科）数学科试卷

命题人：杨 健

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。

（1）已知集合M =｛x|-6≦x< 4｝，N=｛x|-2

（A）[-2,4] （B） (-2,4)

（C）[-6,8) （D） (-2,4]

（2）复数满足（a+3i）+（2-i）=5+bi，则a+b=（ ）.

（A）-4 （B）7 （C）-8 （D）5

（3）等差数列｛an｝中，前n项和为Sn，若S16 -S5 = 165则a9+a8+a16=（ ）.

（A）90 （B）-80 （C）75 （D）45

（4）下列命题：①直线l与平面α无数条直线平行，则l∥α；②若直线m在平面α外，则m∥α；③若直线m⊥n，直线nα内，则m⊥α；④若直线m∥n，mα，直线nβ内，那么平面α∥平面β，其中真命题的个数是为（ ）.

（A）0 （B）2 （C）3 （D）4

（5）若向量a=(6, x)(x∈R)则“x=8”是“∣a∣=10”的（ ）.

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（6）已知cosα=
,α是第三象限角，则sin2α=（ ）.

（A）
（B）
（C）
， （D）

（7）执行右边的程序框图，若p＝0.8，则输出的n＝（ ）.（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

（8）函数
是（ ）.

(A) 周期为
的奇函数 (B) 周期为
的偶函数

(C) 周期为
的奇函数 (D) 周期为
的偶函数

已知a=
2,b=ln2,c=
，则
的大小为（ ）.

(A)
(B)
(C)
. (D)

（10）求不等式组
表示的平面区域的面积是（ ）.

(A) 0.25 (B) 0.5 (C)1 (D)2

（11）在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上与点（0，-5）距离最大的点的坐标是 （ ）.

(A) (5，1) (B)（4，1）

(C)（
＋2，
-3） (D)（3，-2）

（12）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的 尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）.

（A）
（B）

（C）
（D）

填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）。

＋2与
-2的等比中项是_________.

直线6x-8y-19=0与直线3x-4y+0.5=0的距离为_________.

函数
的定义域为_________.

已知点
，当
两点间距离取得最小值时，x的值为_________ .

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）。

（17）(本题满分12分)在
中，
是三角形的三内角，
是三 内角对应的三边，已知
．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若
，求角的大小．

（18）（本小题满分12分）

如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC中点，AA1=AB=a。

（Ⅰ）求证：AD⊥B1D；

（Ⅱ）求二面角B1－AD－B余弦值的大小；

（Ⅲ）求三棱锥C－AB1D的体积

（19）（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求函数f（x）的最大值、最小值；

（Ⅲ）试说明函数f（x）怎样由函数g（x）=sin x变换得来.

（20）（本小题满分12分）

中国于2013年11月9日准备在北京召开十八届三中全会．人大代表老王某乘火车从广州到北京去参会,若当天从广州到北京的三列火车正点到达的概率分别为0．8、0．7、0．9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求:

（Ⅰ）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；

（Ⅱ）这三列火车至少有一列正点到达的概率

（21）（本小题满分12分）

已知函数
上是增函数.

（I）求实数的取值范围；

（II）设
，求函数
的最小值.

（22）（本小题满分10分）

设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：
＋
＞

湄潭中学2013—2014学年第一学期学期测试

高三年级（理科）数学科答题卡

总分_________

选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12































二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。）

（13）_________； （14）_________；

（15）_________； （16）_________。

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。）

(本题满分12分)

（18）(本题满分12分)

（19）（本小题满分12分）

（本小题满分12分）

（本小题满分12分）

（22）（本小题满分10分）

湄潭中学2013—2014学年第一学期学期测试

高三年级（理科）数学科参考答案

注：答案仅供参考

一、选择题：

1-5BDDAA 6-10 CACCC 11-12 DB

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。）

（13） ±1； （14）2；

（15）(0,5] ； （16）
.

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。）

(17)(本题满分12分)

解：（Ⅰ）由余弦定理知道

∵
，角A为三角形内角

∴

∴A=60°

（Ⅱ）∵

∴

∴
是直角三角形，

由（Ⅰ）知A=60°

∴B=30°

（18）(本题满分12分)

（Ⅰ）求证：AD⊥B1D；

证：∵三棱柱ABC－A1B1C1正三棱柱 ，D是BC中点

∴ BB1⊥AD,BC⊥AD

∵ BB1 ∩ BC=点B

∴ AD⊥面BB1D

∴ AD⊥B1D

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥面BB1D

∴ AD⊥B1D BC⊥AD

∴∠BDB1二面角B1－AD－B的平面角

在RT△BB1D中BB1=a，BD=
a

∴cos∠BDB1=

（Ⅲ）求三棱锥C－AB1D的体积

由图知
,AA1=AB=a

∴
=

BB1 =

（19）（本小题满分12分）

解：由题知

（或
）

（Ⅰ）T=

（Ⅱ）当{x|x=
,kz}时，f（x）最大值=
+4;

（Ⅲ）f（x）是由sin x先向左边平移
个单位，接着横坐标变为原来的
倍，再纵坐标变为原来的
倍，最后向上平移4个单位而得

(20)（本小题满分12分）

解：用、、
分别表示这三列火车正点到达的事件．则

所以

（Ⅰ）恰好有两列正点到达的概率为

（Ⅱ）三列火车至少有一列正点到达的概率为

(21)（本小题满分12分）

解：（I）

所以

（II）设

（1）当
时，
最小值为
；

（2）当
时，
最小值为
。

（22）（本小题满分10分）

证：证法一：(分析法)

??? 要证
+
＞
成立，

???只需证(a+b)(
-ab+
)＞ab(a+b)成立，

??? 即需证
-ab+
＞ab成立。(∵a+b＞0)

??? 只需证
-2ab+
＞0成立，

??? 即需证
＞0成立。

??? 而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以
＞0显然成立，由此命题得证。

?????? 证法二：(综合法)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴
＞0，即
-2ab+
＞0

??? 亦即
-ab+
＞ab

??? 由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(
-ab+
)＞(a+b)ab

??? 即
+
＞
，由此命题得证。