哈三中2014届高三上学期第四次验收（期末）考试

数学试卷（文）

考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；

（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；

（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

第I卷 （选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合
，则B中所含元素的个数为

A．5 B．6 C．7 D．8

2．已知复数
（i是虚数单位），则
的虚部为

A． -3 B．-3i C．3 D．3i

3．给定命题p：函数
为偶函数；命题q：函数
为偶函数，下列说法正确的是

A．
是假命题 B．
是假命题

C．
是真命题 D．
是真命题

4．等比数列
的前n项和为
，已知
，且
的等差中项为
，则
=

A．36 B．33 C．31 D．29

5．下列几个命题中，真命题是

A．
是空间的三条不同直线，若

B．α，β，γ是空间的三个不同平面，若

C．两条异面直线所成的角的范围是

D．两个平面相交但不垂直，直线
，则在平面β内不一定存在直线与m平行，但一定存在直线与垂直．

6．已知a,b是两个互相垂直的向量，|a|=1，|b|=2，则对任意的正实数t，
的最小值是

A．2 B．
C．4 D．

7．B1、B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则
的值是

A．
B．
C．
D．

8．函数
的零点所在的区间是

A．
B．
C．
D．

9．已知正三棱锥P—ABC的主视图和俯视图如图所示，

则此三棱锥外接球的表面积为

10．已知直线
交于不同的两点A、

B，O是坐标原点，且有
，那么实数k的取值范围是

A．
B．
C．
D．

11．设关于x，y的不等式组
表示的平面区域内存在点P(a，b),满足a-3b=4，则实数m的取值范围是

A．
B．
C．
D．

12．在平面直角坐标系中，定义
之间的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题：

①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；

②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；

③到
两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；

④到
两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．

其中真命题有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

第Ⅱ卷 （非选择题， 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）

13．若直线
平行，且它们之间的距离是
，则m+n= 。

14．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点，C使在

塔底的正东方向上，测得点的仰角为60°，再由点沿北偏东15°

方向走10米到位置，测得∠BDC=45°，若AB⊥平面BCD，

则塔AB的高是 米。

15．在长方体中ABCD—A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1

所成的角分别为60°和45°，则异面直线和所成的角的余弦值

为 ．

16．已知数列
的前n项和，对于任意的

都成立，则S10= 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）

已知函数
的振幅为2,最小正周期为π，且
对恒成立．

（Ι）求函数
的解析式，并求其单调递增区间

（Ⅱ）若
的值．

18．（本小题满分12分）

已知四棱柱
中所有棱长都为2，底面ABCD为正方形，侧面DD1C1C⊥底面ABCD，∠D1DC=60°

（Ι）证明: 平面CDD1C1⊥平面DAA1D1；

（Ⅱ）若O为底面ABCD的对角线交点，求四面体B1—A1OC1的体积．

19．（本小题满分12分）

设
为数列
项和,对任意的
为正常数）．

（Ⅰ）求证:数列
是等比数列;

（Ⅱ）数列
的通项公式;

（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下,求数列
的前项和．

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆被直线：
截得的弦长为
．

（Ⅰ）求圆O的方程；

（Ⅱ）若斜率为2的直线l与圆O相交于A,B两点，且点D(-1,0)在以AB为直径的圆的内部，求直线L在y轴上的截距的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆
，长轴长为4，圆O：
（O为原点），直线
是圆O的一条切线，且直线l与椭圆M交于不同的两点A、B．

（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；

（Ⅱ）求
的面积取最大值时直线l的斜率k的值

22．（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）当a=1时，求
的单调区间；

（2）若函数
内恒成立，求实数a的取值范围。

参考答案

一 选择题

1.D 2.A 3.B 4.C 5.D 6.A 7. B 8.D 9.B 10.C 11. C 12.C

二 填空题

13.0 14.
15.
16. 91

三 解答题

17.解：（Ⅰ）
，单调递增区间：
，
;

（Ⅱ）
.

18.解：（Ⅰ）取
中点
,易证
,又因为
所以面

（Ⅱ）

19.解：(1)证明:当
时,
,解得

当
时,
.即

又
为常数,且
,∴

∴数列
是首项为1,公比为
的等比数列

(2)解:

∵
,∴

,即

∴
是首项为
,公差为1的等差数列

∴
,即

(3)解:由(2)知
,则
.

所以
,

即
, ①

则
, ②

②-①得
,

故

20.解：（Ⅰ）设
，圆心
到直线：
的距离
，

又截得的弦长为
，所以
，圆的方程为
4分

（Ⅱ）设斜率为
的直线
的方程：
，与圆
相交于
两点，设
，

5分

已知点
在以
为直径的圆的内部，所以

10分

，解得
，满足
，

所以直线
在
轴上的截距的取值范围为
12分

21.解：（Ⅰ）

（Ⅱ）由相切知：
，

，代入得：
，

由于：
恒成立，设
、
，

则：
，

当且仅当
即
时取等;此时,直线斜率
.

22.解：（Ⅰ）
单调递减,
单调递增；

（Ⅱ）

；