遵义四中2014届高三第五次月考数学理科试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、如1. 设集合
，
，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、若
，则
（ ）

A．2 B．
C．32 D．

3. 已知复数
,则“
”是“是纯虚数”的（ ）

A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=ln（x+2）﹣x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（　）

A．

﹣1

B．

0

C．

1

D．

2























5．执行程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（　　）

A．

120

B．

720

C．

1440

D．

5040



6．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落人区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（　）

A．

15

B．

10

C．

9

D．

7





7．一个几何体的三视图如图2所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（　）

A．



B．



C．



D．







8．如图，设D是图中所示的矩形区域，E是D内函数y=cosx图象上方的点构成的区域，向D中随机投一点，则该点落入E（阴影部分）中的概率为（　）

A．



B．



C．



D．





9．设向量
=（sinα，
）的模为
，则cos2α=（　）

A．



B．



C．

﹣

D．

﹣



10．已知变量x，y满足约束条件
，则z=x﹣2y的最大值为（　）

A．

﹣3

B．

0

C．

1

D．

3





11．P是双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2是其焦点，且

=0，若△F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（　）

A．



B．



C．



D．





12．函数y=sin（ωx+φ）
在区间
上单调递减，且函数值从1减小到﹣1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为（　）

A．



B．



C．



D．







二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在题中的横线上.

13．如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则以球心O为顶点，以球O被平面ACD1所截得的圆为底面的圆锥的体积为　　．

14．已知
，
，如果
与
的夹角为锐角，则λ的取值范围是　　．

16．若函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣1﹣3，则不等式f（x）＞1的解集为　　．

16．某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如图所示，现要按右图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则在80～90分数段应抽取人数为　　．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，求：（1） 2sinBcosC﹣sin（B﹣C）的值；（2）若a=2，求△ABC周长的最大值．

18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底边ABCD为直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．

（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；

（Ⅱ）若BE⊥平面PCD，求平面EBD与平面CBD夹角的余弦值．

19．（12分）某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如右表所示：已知分3期付款的频率为0.2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润．

（1）求上表中的a，b值；

（2）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率P（A）；

（3）求η的分布列及数学期望Eη．

20．（12分）已知数列{an}中，a1=1，an＞0，an+1是函数f（x）=
x3+
的极小值点．

（1）证明数列{an}为等比数列，并求出通项公式an；

（2）设bn=nan2，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：
．

21（12分）．如图，F1，F2是离心率为
的椭圆C：
（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l：x=﹣
将线段F1F2分成两段，其长度之比为1：3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．

（Ⅰ） 求椭圆C的方程；

（Ⅱ） 求
的取值范围．

：



请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲

如图，
相交于A、B两点，AB是
的直径，过A点作
的切线交
于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与
、
交于C，D两点。

求证：（1）PA·PD=PE·PC；

（2）AD=AE。

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，曲线
，过点A（5，α）（α为锐角且
）作平行于
的直线
，且
与曲线L分别交于B，C两点。

（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线
的普通方程；

（2）求|BC|的长。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知关于x的不等式
（其中
）。

（1）当a=4时，求不等式的解集；

（2）若不等式有解，求实数a的取值范围。











遵义四中2014届高三第五次月考数学理科答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

得分



答案

B

D

C

A

B

D

C

D

B

C

B

A





二、填空题

13.
π 14.

15. （﹣2，0）∪（3，+∞）　． 16.20人

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，求：（1） 2sinBcosC﹣sin（B﹣C）的值；（2）若a=2，求△ABC周长的最大值．

解：（1）∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2﹣bc，

结合余弦定理知cosA=
=
=
，

又A∈（0，π），∴A=
，（4分）

∴2sinBcosC﹣sin（B﹣C）=sinBcosC+cosBsinC

=sin（B+C）=sin[π﹣A]=sinA=
；（6分）

（2）由a=2，结合正弦定理得：

=
=
=
=
，

∴b=
sinB，c=
sinC，（8分）

则a+b+c=2+
sinB+
sinC

=2+
sinB+
sin（
﹣B）

=2+2
sinB+2cosB=2+4sin（B+
），（12分

可知周长的最大值为6．









　18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底边ABCD为直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．

（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；

（Ⅱ）若BE⊥平面PCD，求平面EBD与平面CBD夹角的余弦值．

：

解：设AB=a，PA=b，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），P（0，0，b），C（2a，2a，0），D（0，2a，0），E（a，a，
）．

（Ⅰ）证明：
，

∴
．

又∵BE?平面PAD

∴BE∥平面PAD．（6分）

（Ⅱ）∵BE⊥平面PCD，∴BE⊥PC，即
．

又∵
，

∴
．即b=2a

在平面BDE和平面BDC中，
，

∴平面BDE的一个法向量为
，

平面BDC的一个法向量为
，

∴
．

∴平面EBD与平面CBD夹角的余弦值为
．（12分）









　

19．某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如右表所示：已知分3期付款的频率为0.2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润．

（1）求上表中的a，b值；

（2）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率P（A）；

（3）求η的分布列及数学期望Eη．

解：（1）由
得a=20

∵40+20+a+10+b=100∴b=10 （4分）

（2）记分期付款的期数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3，4，5，

依题意得：
，

，

P（ξ=3）=0.2，

，

则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率

P（A）=0.83+C310.2×（1﹣0.2）2=0.896 （8分）

（3）∵η的可能取值为：1，1.5，2（单位万元）

P（η=1）=P（ξ=1）=0.4

P（η=1.5）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.4

P（η=2）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.1=0.2

∴η的分布列为：

∴η的数学期望Eη=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.4（万元） （12分）



20．（12分）已知数列{an}中，a1=1，an＞0，an+1是函数f（x）=
x3+
的极小值点．

（1）证明数列{an}为等比数列，并求出通项公式an；

（2）设bn=nan2，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：
．

：

证明：（1）求导函数可得
=

∵an＞0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）、（
，+∞）上递增，在（﹣1，
）上递减

∴f（x）的极小值点为
，∴
（4分）

∵a1=1，∴数列{an}为首项为1，公比为
的等比数列，

∴通项公式an=
；（6分）

（2）bn=nan2=

∴Sn=
①

∴
Sn=
②

①﹣②：
Sn=
=
（8分

∴Sn=
＜
．（12分





21．如图，F1，F2是离心率为
的椭圆C：
（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l：x=﹣
将线段F1F2分成两段，其长度之比为1：3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．

（Ⅰ） 求椭圆C的方程；

（Ⅱ） 求
的取值范围．

：

解：（Ⅰ）设F2（c，0），则
=
，所以c=1．

因为离心率e=
，所以a=
，所以b=1

所以椭圆C的方程为
． …（4分

（Ⅱ）当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x=﹣
，此时P（
，0）、Q（
，0），
．

当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M（﹣
，m） （m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．

由
得（x1+x2）+2（y1+y2）
=0，

则﹣1+4mk=0，∴k=
．6分）

此时，直线PQ斜率为k1=﹣4m，PQ的直线方程为
，即y=﹣4mx﹣m．

联立
消去y，整理得（32m2+1）x2+16m2x+2m2﹣2=0．

所以
，
． 8分

于是
=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+（4mx1+m）（4mx2+m）

=

=
=
．

令t=1+32m2，1＜t＜29，则
．

又1＜t＜29，所以
．

综上，
的取值范围为[﹣1，
）．…（12分）

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲

如图，
相交于A、B两点，AB是
的直径，过A点作
的切线交
于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与
、
交于C，D两点。

求证：（1）PA·PD=PE·PC；

（2）AD=AE。

22．（Ⅰ）
分别是⊙
的割线∴
① （2分）

又
分别是⊙
的切线和割线∴
② （4分）

由①，②得
（5分）

（Ⅱ）连结
、

设
与
相交于点

∵
是⊙
的直径

∴

∴
是⊙
的切线. （6分）

由（Ⅰ）知
，∴
∥
∴
⊥
,
（8分）

又∵
是⊙
的切线，∴

又
，∴

∴
（10分）

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，曲线
，过点A（5，α）（α为锐角且
）作平行于
的直线
，且
与曲线L分别交于B，C两点。

（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线
的普通方程；

（2）求|BC|的长。

23．（Ⅰ）由题意得，点的直角坐标为
(1分)

曲线L的普通方程为：
（3分）

直线l的普通方程为：
（5分）

（Ⅱ）设B（
）C（
）

联立得

由韦达定理得
，
（7分）

由弦长公式得
（10分）

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知关于x的不等式
（其中
）。

（1）当a=4时，求不等式的解集；

（2）若不等式有解，求实数a的取值范围。

24．（Ⅰ）当
时，
，

时，
，得
（1分）

时，
，得
（2分）

时，
，此时不存在 （3分）

∴不等式的解集为
（5分）

（Ⅱ）∵设

故
，即
的最小值为
（8分）所以
有解，则

解得
，即的取值范围是
（10分）