2014年长春市高中毕业班第一次调研试题

数学试题卷(文科)

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分 钟，其中第II卷22题一24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡 一并交回.

注意事项：

1. 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写淸楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.

2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹淸楚.

3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.

第I卷 (选择题60分)

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.

1.复数Z=1－i 的虚部是( )

(A).i (B) －i (C) －1 (D)1

2.已知集合M={
},集合N={ x|lg(3-x)>0},则
=( )

(A).{ x|2

3.函数f(x)=(sinx+cosx)2 的一条对称轴的方程是( )

4.抛物线
的焦点到准线的距离是( )

(A) 2 (B)1 　　　　　　　　(C).
　　 (D).

5.某几何体的三视图如右图,(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为

(A).92+14π (B). 82+14π

(C). 92+24π (D). 82+24π

6.等比数列
中,
前三项和为S
＝27，则公比q的值是( )

(A).1 　　　　　　(B)－

(C) 1或－
(D)－ 1或－

7.定义某种运算
,运算原理如图所示，

则式子
的值为

( A).－3 　(B).－4 (C).－8 (D). 0

8.实数x,y满足
，若函数z=x+y的最大值为4,则实数a的值为

(A). 2 (B). 3 (C).
　 (D).4

9.已知三条不重合的直线m,n,l 和两个不重合的平面α，β ,下列命题正确的是:( )

(A). 若m//n，n
α，则m// α

(B). 若α⊥β, α
β=m, n⊥m ，则n⊥α.

(C) .若 l⊥n ，m⊥n, 则l//m

(D). 若l⊥α，m⊥β, 且l⊥m ，则α⊥β

10.已知双曲线
的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，－b），

若
，则双曲线的离心率值为（　　）

（A）
　　　（B）
　　　（C）
　　　　（D）

11.若函数y=f(x)图象上的任意一点p的坐标(x,y)满足条件|x|≥｜y｜,则称函数具有性质S,那么下列函数中具有性质S的是( )

(A).
－1 (B). f(x)= lnx

(C). f(x)=sinx 　　 (D). f(x)=tanx

12.已知
设函数F(x)= f(x+4)，且F(x)的零点均在区间[a,b] (a

(A)
(B). 2
(C).3
(D). .4

第二卷(非选择题,共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作 答，第22题-24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).

13、在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则
＝＿＿＿

14.已知三棱柱ABC-A1B1C1 底面是边长为
的正三角形,侧棱垂直于底面,且该三棱柱的外接球表面积为12
,则该三棱柱的体积为 .

15.若圆
，关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值为 .

16.定义[x]表示不超过x的最大整数,例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,若f(x)=sin(x-[x]),则下列结论中

①y＝f(x)是奇是函数 ②.y＝f(x)是周期函数 ,周期为2
③..y＝f(x)的最小值为0 ,无最大值 ④. y＝f(x)无最小值,最大值为sin1.正确的序号为 .

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17.(本小题满分12分）

设数列
是等差数列, 且
成等比数列。

(1).求数列
的通项公式

(2).设
，求前n项和Sn

18. (本小题满分12分）

已知向量
,设函数f(x)=
.

(1).求函数f(x)的最小正周期;

(2).已知a,b,c分别为三角形ABC的内角对应的三边长,A为锐角,a=1,
，且f(A)恰是函数f(x)在
上的最大值,求A,b和三角形ABC的面积.

19. (本小题满分12分）

如图,E是以AB为直径的半圆弧上异于A，B的点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2。

(1).求证:EA⊥EC ;

(2).设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F。

①求证：EF//AB；

②若EF=1，求三棱锥E—ADF的体积

20．(本小题满分12分）

已知平面上的动点P（x，y）及两个定点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别为K1，K2 且K1K2=－

(1).求动点P的轨迹C方程；

(2).设直线L：y=kx+m与曲线 C交于不同两点，M，N，当OM⊥ON时，求O点到直线L的距离（O为坐标原点）

21. (本小题满分12分）

已知函数

(1).求函数f(x)的单调区间及极值;

(2).若 x1 ≠x2 满足f(x1)=f(x2),求证：x1 ＋x2 ＜0

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明
选讲.

如图,四边形为边长为a的正方形,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的圆O交于F,连接CF并延长交AB于点 E.

(1).求证:E为AB的中点;

(2).求线段FB的长.

23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.

以直角坐标系的原点为极点O，
轴正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1,-5),点C的极坐标为
,若直线l经过点P,且倾斜角为
，圆C的半径为4.

(1).求直线l的参数方程及圆C的极坐标方程;

(2).试判断直线l与圆C有位置关系.

24. 本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.

已知f(x)=|x+1|+|x-1| ,不等式f(x)的解集为M.

(1).求M;

(2).当a,b
M时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.

2014年长春市高中毕业班第一次调研测试

数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

B

A

D

A

C

D

A

D

B

C

A



1．【试题答案】

【试题解析】由复数虚部定义：复数

的虚部为
，得
的虚部为
，故选
.

2．【试题答案】

【试题解析】因为
，
，所以
，故选
.

3．【试题答案】

【试题解析】化简
，∴将选项代入验证，当
时，
取得最值，故选
.

4．【试题答案】

【试题解析】由抛物线标准方程

中
的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又
，故选
.

5．【试题答案】

【试题解析】由三视图可知，该几何体下方为一个长方体，长宽高分别为
，上方接一个沿旋转轴切掉的半圆柱，底面半径为
，高为
，所以表面积为

.故选
.

6．【试题答案】

【试题解析】设公比为
，又
，则
，即
，解得
或
，故选
.

7．【试题答案】

【试题解析】由题意可知，程序框图的运算原理可视为函数

，

所以
，
，

，故选
.

8．【试题答案】

【试题解析】由
，得
,则
表示该组平行直线在
轴的截距。又由约束条件
作出可行域如图，先画出
，经平移至经过
和
的交点
时，
取得最大值，代入
，即
，所以
，故选
.

9．【试题答案】

【试题解析】A选项，直线
可能在平面
内；B选项，如果 直线
不在平面
内，不能得到
；C选项，直线
与
可能平行，可能异面，还可能相交；故选
.

10．【试题答案】

【试题解析】由
得
，又
，
，

则
，
，所以有
，即
，从而

解得
，又
，所以
，

故选
.

11．【试题答案】

【试题解析】不等式
表示的平面区域如图所示，

函数
具有性质
，则函数图像必须完全分布在阴

影区域①和②部分，
分布在区域①和③内，

分布在区域②和④内，
图像分布

在区域①和②内，
在每个区域都有图像，故选
.

12．【试题答案】

【试题解析】验证
，

易知
时，
；
时，

所以
在
上恒成立，故
在
上是增函数，又
，

∴
只有一个零点，记为
，则
.

故
的零点
即将
向左平移
个单位，
，

又函数
的零点均在区间
内，且
，故当
，

时，即
的最小值为
，即圆
的半径取得最小

值
，所以面积取得最小值
，故选

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．【试题答案】

【试题解析】

.

14．【试题答案】

【试题解析】设球半径
，上下底面中心设为
，
，由题意，外接球心为
的

中点，设为
，则
，由
，得
，又易得
，

由勾股定理可知，
，所以
，即棱柱的高
，所以该三棱柱的体

积为
.

15．【试题答案】

【试题解析】

,圆心坐标为
，代入直线
得：

，即点
在直线
:
，过
作
的垂线，垂

足设为
，则过
作圆
的切线，切点设为
，则切线长
最短，于是有
，

，∴由勾股定理得：
.

16．【试题答案】 ②③

【试题解析】

，
，

则
，故①错。

，∴
，故②正确。

，在

是单调递增的周期函数，所以
的单

调递增区间为

，∴
，故
，无最大值，

故③正确，易知④错。综上正确序号为②③。

三、解答题（本大题必做题5小题，三选一中任选1小题，共70分）

17．【试题解析】（1）设等差数列
的公差为
，又

则
，
，
，

又
，
,
成等比数列.

∴
，即
,

解得
或
， ………4分

又
时，
，与
，
，
成等比数列矛盾，

∴
，∴
，即
. ………6分

（2）因为
，∴
………8分

∴

.

………12分

18．【试题解析】

（1）

…………4分

因为
，所以最小正周期
. ……………………6分

（2）由（1）知
，当
时，
.

由正弦函数图象可知，当
时，
取得最大值
，又
为锐角

所以
. ……………………8分

由余弦定理
得
，所以
或

经检验均符合题意. ……………………10分

从而当
时，△
的面积
； ……………………11分

当
时，
. ……………………12分

19．【试题解析】

（1）∵
是半圆上异于
，
的点，∴
，

又∵平面

平面
，且
，

由面面垂直性质定理得
平面
，

又
平面
，

∴

∵
，

∴
平面

又
平面

∴
………4分

（2） ①由
∥
，得
∥平面
，

又∵平面

平面
，

∴根据线面平行的性质定理得
∥
，又
∥
，

∴
∥
………8分

②
………12分

20．【试题解析】

（1）设
，由已知得
，

整理得
， 即

………4分

（2）设M

消去
得：

由
得

………8分

∵
∴

即

∴

∴
满足
………10分

∴
点到
的距离为
即

∴
………12分

21．【试题解析】

（1）∵
，

∴当
时，
；当
时，
.

则
的增区间是
，减区间是
.

所以
在
处取得极小值
，无极大值. ………6分

（2）∵
且
，由（1）可知
异号.

不妨设
，
，则
.

令
=
， ………8分

则
，

所以
在
上是增函数. ………10分

又

，∴
，

又∵
在
上是增函数，

∴
，即
. ………12分

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．【试题解析】

（1）由题意知，
与圆
和圆
相切，切点分别为
和
，

由切割线定理有：
所以
，即
为
的中点.

………5分

（2）由
为圆
的直径，易得
，

∴
，

∴
∴
. ………10分

23．【试题解析】

（1）直线
的参数方程
，即
（
为参数）

由题知
点的直角坐标为
，圆
半径为
，

∴圆
方程为
将
代入

得圆
极坐标方程
………5分

（2）由题意得，直线
的普通方程为
，

圆心
到
的距离为
，

∴直线
与圆
相离. ………10分

24．【试题解析】

（1）由
，即
，

当
时，则
，得
，∴
；

当
时，则
，得
，恒成立，∴
；

当
时，则
，得
，∴
；

综上，
. ………5分

（2）当
时， 则
，
.

即：
，
，∴
，

∴
，即
，

也就是
，

∴
，

即：
，

即
. ………10分